Side 2 - 0,999...=1

#17
Jo, det er netop kun i kraft af dette faktum at de i #9 anførte og i #14 omtalte regninger har mening.

For at undgå skrivekrampe vil jeg nedenfor anvende terminologien 'rækkens sum' når jeg egentlig mener 'grænseværdien for rækkens afsnitsfølge'.

For _endelige_ summer gælder der som bekendt, at summen er uafhængig af den rækkefølge, i hvilken leddene adderes. For _uendelige_ summer kan der imidlertid indtræffe det højst ejendommelige fænomen, at man ved at ændre på leddenes rækkefølge, kan ændre på rækkens sum.

Til eksempel kan man vise, at rækken

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... (*)

er konvergent med summen log(2), medens rækken

1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 -1/6 +...

som fremkommer af (*) ved at samle leddene således at der skiftevis står to positive efterfulgt af eet negativt, er konvergent med summen 3log(2)/2.

Det kan vises, at hvis det om en konvergent række

sum[n=1->00]{a_n}, a_n E R (**)

gælder at

sum[n=1->00]{|a_n|} (***)

er divergent, da kan man for ethvert opgivet reelt tal c omordne leddene i (**) på en sådan måde, at den herved fremkomne række er konvergent med summen c, og man kan endvidere altid omordne leddene således, at den fremkomne række er divergent.

Hvis (**) er konvergent, men (***) divergent kan konvergensen altså ændres ved at summere leddene i en anden rækkefølge. Konvergensen er således _betinget_ af leddenes rækkefølge, og (**) siges da i denne situation at være betinget konvergent.

Hvis både (**) og (***) er konvergente, kan man vise, at enhver række, der fremkommer ved at omordne leddene i (**), igen er konvergent med samme sum som (**). Konvergensen er altså ikke betinget af leddenes rækkefølge, og man siger i dette tilfælde at (**) er absolut konvergent.

Dine regninger i #17, som indebærer ombytning af led, forudsætter derfor absolut konvergens for at give mening.

#20 og #21:
I beviset for formlen til summen af en uendelig geometrisk række bytter man da om på leddene, uden at skrive noget om absolut konvergens (fx: http://www.math.aau.dk/~uli/tea/e03/dmg/slides3_4.pdf side 2) Er det en fejl?

Teorien i #20 og #21 ser ud til at omhandle summen af én række og ikke af to. Så vidt jeg kan se, må summen af to konvergente rækker (a1 + a2 + a3 + … og b1 + b2 + b3 + …) være lig grænseværdien for rækken bestående af skiftevis et tal fra første række og et tal fra anden række (selvfølgelig i samme rækkefølge, som i de enkelte rækker: a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + …). I denne række kan man nemlig, til forskel fra det i #21 nævnte eksempel, afbryde rækken efter 2*n tal og få præcis det samme resultat som inden man ”blandede” rækkerne. 9,999...-0,999... kan betragtes som summen af rækkerne:

9 + 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …
Og:
-9/10 – 9/100 – 9/1000 - …

Hvilket giver det jeg skrev i #17

#22 teorien --> "det er står"

Omtale note bytter ikke om på leddene i en uendelig række. Den betragter en endelig afsnitsfølge og beregner dennes sum. Her er sædvanlige aritmetiske operationer naturligvis tilladte. Dernæst beregnes summen af den uendelige geometriske række korrekt som grænseværdien for n->oo af dens afsnitsfølge. Det er der ikke noget i vejen med.

...men det jeg skriver i anden del af #22 er korrekt?

Det er korrekt at hvis

sum[n=0->oo]{a_n} (*)

og

sum[n=0->oo]{b_n} (**)

er _konvergente_ med grænseværdi henholdsvis a og b, da er rækken

sum[n=0->oo]{c_n}, c_n = a_n + b_n

konvergent med grænseværdi a+b uanset om (*) og (**) er betinget eller absolut konvergente.

Refereres nu til den konkrete situation i #17, så betragtes rækkerne

sum[n=0->oo]{9/10^n}

sum[n=0->oo]{9/10^(n+1)}

som er konvergente med henholdsvis grænseværdierne 10 og 1. Differensrækken

sum[n=0->oo]{9/10^n - 9/10^(n+1)} (***)

er da konvergent med grænseværdien 10-1=9, men bemærk at i forhold til denne række har du i #17 ombyttet led. Med mindre (***) er absolut konvergent er der derfor ikke nogen garanti for at grænseværdien af din række er den samme endsige eksisterer.

ja ja, i #17 havde jeg byttet om på ledene to og to (rykket hvert andet led et led tilbage i række). Det ændre ikke på noget, men dette havde været mere korrekt:

(9 + 9/10 + 9/100 + ...) – (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...) =
9 - 9/10 + 9/10 – 9/100 + 9/100 – 9/1000 + ...=
9 + (- 9/10 + 9/10) + (- 9/100 + 9/100) +...=
9 + 0 + 0 + 0 + ...=
9

En korrekt måde at skubbe hvert andet led et led tilbage på, og dermed komme frem til rækken i #17, er at sætte b_1 lig 0, b_2 lig -9/10, b_3 lig -9/100 osv.