Ligninger i 3 variable

Det må du uddybe.

Hvad er F ?

Hvad er f ?

Hvad er z ?

Dine spørgsmål er ikke ganske klart formuleret. Jeg forstår dem faktisk slet ikke.

Okay, det vil jeg prøve så. Kan godt se det er lidt kludret.
Mit første spørgsmål: hvordan en funktion i 3 variable skal forstås grafisk (geometrisk). Hvad er den grafisk fortolkning af definitionsmængden og de tilhørende funktionsværdier.
Andet spørgsmål: hvis man har en funktion i 3 variable og antager at en af de 3 variable er en funktion af de to andre (z(x,y) eksempelvis). Man kan så udlede f'(x,y) ved at lave en funktion g(x,y)=F(x,y,f(x,y) differentiere med kædereglen og isolerer. Hvad er den grafiske fortolkning af f'(x,y)?
Mit tredje spørgsmål: I forbindelse med at udlede z' forsvinder det midterste led hvor d(f1)dy/dx og d(f2)dx/dy. Hvorfor gør de det? Jeg kan godt gennemskue at det på eller anden måde er fordi de er uafhængige men det er vel ikke en særlig god fortolkning.

Håber det gjorde det mere klart. På forhånd tak!

nu gjorde jeg det vist igen.
z(x,y)=f(x,y) og z'(x,y)=f'(x,y).

ad 1)
Der findes ikke nogen fuldkommen måde at visualisere funktioner af mere end to uafhængige variable på. Det hænger naturligvis sammen med, at grafen for en funktion f:R²->R af _to_ variable er punktmængden

M = {(x,y,z) E R³ | (x,y) E R² /\\ z=f(x,y)}

er det maksimale vi kan repræsentere i tre dimensioner.

Der findes måder hvorpå funktioner af flere variable kan visualiseres delvist. Eksempelvis som "slices" hvori een af de uafhængige variable holdes fast. Herved reduceres punktmængden til værende af samme type som M ovenfor.

ad 2+3)
Antag at vi har tre variable x, y, z relateret ved ligningen

F(x,y,z) = 0

Såfremt dF/dz != 0 kan vi ifølge det implicitte funktionsteorem i princippet skrive z(x,y) og dermed

F(x,y,z(x,y)) = 0

Under passende forudsætninger om differentiabilitet finder man for den partielle afledede af funktionen F mht x

0 = dF/dx = dF/dx*dx/dx + dF/dy*dy/dx + dF/dz*dz/dx

Men dy/dx=0 da x og y er _uafhængige_ variable (som du selv helt rigtigt påpeger). Derfor fås

dz/dx = - (dF/dx)/(dF/dz)

Man kan lave tilsvarende nummer med at skrive x(z,y) og y(x,z) under forudsætningerne dF/dx != 0 hhv dF/dy != 0 og man vil heraf se at produktet

dz/dx*dx/dy*dy/dz = -1

hvilket måske kan virke overraskende.

Mht dz/dx er tolkningen den samme som for øvrige partielle afledede, altså den retningsafledede af z i x-aksens retning.

Okay, mange tak.
"Mht dz/dx er tolkningen den samme som for øvrige partielle afledede, altså den retningsafledede af z i x-aksens retning."
Er det rigtigt forstået den så angiver den lodrette hældning for y(0) fasthold, hvis man kan sige det sådan

undskyld det kan det vel ikke, når dF/dz er 0.

undskyld det kan det vel ikke, når dF/dz er 0.