Matematik

Side 2 - Triple integral

Svar #21
23. marts 2015 af beautyL (Slettet)

Okay jeg håber ikke jeg spørg for meget. Og hvordan får du r^3 samt sin^2 i første og tredje integrale?

Brugbart svar (0)

Svar #22
24. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#21

Det hedder et integral.

Man samler jo faktorerne i integranden

r·sin(θ)·sin(φ)·r²·sin(φ) = r³·sin(θ)·sin²(φ)

Det skulle der ikke være noget problem i.

Brugbart svar (0)

Svar #23
25. marts 2015 af isabellaKramer (Slettet)

til #4 og #9 Der er jeg med, men har lige et spørgsmål. Jeg har vedhæftet det jeg tror jeg har forstået om at finde grænserne, og hvor mit dilemma ligger lige pt.

Så fordi jeg har rækkefølgen dzdydx så "udgår" z fra grænserne ved y og så videre ved x. Jeg er godt med på rent praktisk at dz er først så dy og sidst dx, og er det derfor z "fjernes når grænserne for y og derefter x findes. Håber spørgsmålet forståes. Og tilsidst når x grænserne findes hvordan ved jeg at den det er fra 0 til 1?

Vedhæftet fil:trippel integral.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #24
25. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#23

Se #11

Brugbart svar (0)

Svar #25
25. marts 2015 af isabellaKramer (Slettet)

Jeg kan godt se 11, men er ikke med på hvordan jeg kan se at x grænserne er fra 0 til 1.

Brugbart svar (0)

Svar #26
25. marts 2015 af isabellaKramer (Slettet)

Jeg tror bare gerne at jeg vil vide om det ser rigtigt ud det jeg har lavet i vedhæftet fil, :)

Brugbart svar (1)

Svar #27
25. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#25

Det skal da vist også være

$\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}y\, \textup{d}z\, \textup{d}y\, \textup{d}x$

Brugbart svar (0)

Svar #28
25. marts 2015 af isabellaKramer (Slettet)

#25, og igen forstår jeg ikke hvor grænsen til x -1 kommer fra?

Brugbart svar (0)

Svar #29
25. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#28

Der skal gælde

       x² + y² + z² ≤ 1
       y ≥ 0
       z ≥ 0

så det må være klart, at -1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .

Lader vi x løbe fra -1 til 1, har vi så

y² + z² ≤ 1 - x²

så vi har nu, at 0 ≤ y ≤ √(1-x²) , 0 ≤ z ≤ √(1-x²) . Lader vi nu y løbe i intervallet 0 ≤ y ≤ √(1-x²) , har vi så

z² ≤ 1 - x² - y² , dvs.

0 ≤ z ≤ √(1-x²-y²)

hvorfor vi har de hierarkiske grænser

        -1 ≤ x ≤ 1
        0 ≤ y ≤ √(1-x²)
        0 ≤ z ≤ √(1-x²-y²)

Svar #30
25. marts 2015 af beautyL (Slettet)

Men det er jo ikke for en sfærisk koordinater?

Svar #31
25. marts 2015 af beautyL (Slettet)

Men det er jo ikke for en sfærisk koordinater?

Brugbart svar (0)

Svar #32
26. marts 2015 af isabellaKramer (Slettet)

Det er netop ikke klart for mig at forstå hvordan du kan se dette?

-1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1

Brugbart svar (0)

Svar #33
26. marts 2015 af Therk

$\begin{align*} x^2+y^2+z^2 &\leq 1\\ 0&\leq z\\ 0 & \leq y \end{align*}$

Det er dine startbetingelser. Ved at manipulere med den første ulighed:

$\begin{align*} z^2 &\leq 1-x^2-y^2 \quad \Rightarrow \quad z \leq \sqrt{1-x^2-y^2} \end{align*}$

Så kan det ses at for at det skal give mening, så skal

$\color{blue} 1-x^2-y^2 \geq 0$

fordi $\sqrt{a}$ når a er negativ er udefineret i de reelle tal!

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Hvis

$y\geq 0$

som vi antog i starten så kan vi isolere x i det blå:

$\begin{align*} \color{blue}0&\color{blue}\leq 1-x^2-y^2 \color{black}&\Rightarrow \\ y^2&\leq 1-x^2 &\Rightarrow\\ y&\leq \sqrt{1-x^2} \end{align*}$

og nu kan vi se at den absolutte værdi af x ikke må være større end 1, fordi

$1-x^2 \geq 0 \iff \vert x\vert \leq 1 \Rightarrow \color{red}-1\leq x \leq 1$

Se evt. et plot af på Wolfram Alpha og overbevis dig om at det kun er positivt for x i mellem -1 og 1:

^{http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%281-x^2%2Cx%3D-1.1..1.1%29}

Forrige 1 2 Næste

Skriv et svar til: Triple integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.