Matematik

Triple integral

23. marts 2015 af beautyL (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Evaluate the following integral

$\int \int \int _RydV$ ,

where R is the part of the sphere $x^2+y^2+z^2 \leq 1$ in the first and second octant, i.e., where $y\geq 0, and z \geq 0$ .

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. marts 2015 af Therk

Siden du ikke selv har oplyst det, så lad mig spørge dig: Hvad er dit spørgsmål? Hvor går du i stå? Hvad har du selv lavet?

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. marts 2015 af nr10 (Slettet)

Jeg sidder selv med samme spørgsmål, og har ingen ide om hvor man skal starte. Kan du hjælpe igang muligvis?

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. marts 2015 af peter lind

Omskriv til polære koordinater

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. marts 2015 af Therk

$\iiint_R y\, \mathrm d V = \int_{\boldsymbol X} \int_{\boldsymbol Y} \int_{\boldsymbol Z} y \, \mathrm dz\, \mathrm dy\, \mathrm dx$

Find grænserne for x, y og z (benævnt X, Y og Z herover). Gør det med de tre oplysninger:

$\begin{align*} x^2+y^2+z^2&\leq 1 \\ y&\geq 0\\z&\geq 0 \end{align*}$

Isolér fx z i første ulighed og udnyt brug så den tredje ulighed. Fx er

$0\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}$

af ulighed 1 og 3. Benyt så at du kun integrerer over de reelle tal, dvs. der må gælde at

$1-x^2-y^2 \geq 0$

fordi ellers kan vi ikke tage kvadratroden af dem.
$\rule{7cm}{0.4pt}$

Du kan også omskrive til polære koordinater, men ærligt talt kan det være til større bøvl end gavn, hvis du ikke har styr på det. "Brute force" metoden herover kan hjælpe med at gøre det mindre abstrakt.

Svar #5
23. marts 2015 af beautyL (Slettet)

Kan du kom et eksempel med det?

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. marts 2015 af Lykkevuf (Slettet)

#4 Threk, gælder der så, at alle z,y,z grænser går fra 0 til 1?

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. marts 2015 af Therk

#5: Er det slet ikke muligt at du kan være specifik? Evt. vise det du selv har lavet? Så er det væsentligt nemmere at hjælpe dig.

#6: Nej, ikke helt. x og y er jo afhængige af hinanden fordi der skal gælde at

$1-x^2-y^2\geq 0$

som nævnt i #4.

Prøv at isolere en af de to variable i den ligning. Så får du en kvadratrod mere, hvis indmade skal være positiv. Det giver dig den sidste ulighed du skal bruge.

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Langt det simpleste er at omskrive til sfæriske koordinater.

Se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1586429

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. marts 2015 af Lykkevuf (Slettet)

#/7. ok. så alle går fra 0. Så langt så godt. Men går z så til sqrt(-x^2+-y^2)? Ville tænke de begge var negtative. gælder der så at x går til sqrt(y^2+1) ?

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. marts 2015 af Lykkevuf (Slettet)

Åh, nu så jeg linket på den anden. Så når man bruger sfæriske, så er:

0 --> 1

0 --> pi/2

0--> pi/2

og man skal så integrere r * sin(teta) *sin(ø)?

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Hvis du ønsker at forblive i rektangulære koordinater skal man beregne integralet

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}y\, \textup{d}z\, \textup{d}y\, \textup{d}x$

Brugbart svar (1)

Svar #12
23. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#10

Med sfæriske koordinater har man

        0 ≤ r ≤ 1
        0 ≤ θ ≤ π
        0 ≤ φ ≤ π/2

og man bergner integralet

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r \sin \theta \sin \varphi \, r^{2}\sin \varphi \, \textup{d} \varphi \, \textup{d} \theta \, \textup{d}r$

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. marts 2015 af Lykkevuf (Slettet)

i sfæriske, skal det ikke være: r*sin (theta)*sin(ø)*r^2*sin(teta) ?? Troede der skulle være 2 af sin(theta). Kan det passe at resultatet er = 0,55?

Det er anderledes end det rektangulære svar, som giver pi/16... Hmm..

Er der en af metoderne, som er mere "korrekt" ?

Brugbart svar (0)

Svar #14
23. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#13

Jo, det er muligt, at jeg har fået byttet rundt på θ og φ et eller flere steder, så man skal jo selv kontrollere.

Uanset fremgangsmåden, skal resultatet blive det samme. Integralet i #12 finder jeg til π/8 .

Svar #15
23. marts 2015 af beautyL (Slettet)

Lykkevuf hvordan kommer du frem til det ?

Brugbart svar (0)

Svar #16
23. marts 2015 af Lykkevuf (Slettet)

#14, okay, jeg er fuldstændig med på dine udregninger i #12, og kan også se, det skal give pi/8 med de tal. Men jeg forstår ikke, hvorfor du har vendt dine integrationer, som du har = død(theta)dr. Hvad er begrundelsen for det?

Brugbart svar (0)

Svar #17
23. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#16

Rækkefølgen af differentialerne skal hierarkisk modsvare integraltegnene med grænserne.

Brugbart svar (0)

Svar #18
23. marts 2015 af Lykkevuf (Slettet)

#17, ok, det vil jeg så brygge lidt på. Tusind tak for hjælpen :) !

Svar #19
23. marts 2015 af beautyL (Slettet)

#12 jeg er faldet fra . kan godt se at man bare skal smide tallene ind i formlen.
Hvad skal man så gør derfra ?

Hvordan beregner du det til π/8 ?

Brugbart svar (0)

Svar #20
23. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#19

Integralet i #12 splittes jo i et produkt af de separerbare integraler

₀∫¹ r³ dr = 1/4

₀∫^π sin(θ) dθ = 2

₀∫^π/2 sin²(φ) dφ = [φ/2 - (1/4)·sin(2φ)]^π/2₀ = π/4

Produktet af de tre integraler er så (1/4) · 2 · (π/4) = π/8 .

Forrige 1 2 Næste

Der er 33 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.