Matematik
Analytisk geometri
14. januar 2006 af
KickAzz (Slettet)
Hej,
Jeg er i gang med en matematikopgave og er stødt ind i et problem:
"I et koordinatsystem er en parabel bestemt ved ligningen
y = x^2 - x + 9/4"
Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt T:
Bestemt til T((1/2) , 2)
En linje t_1 er bestemt ved ligningen y = -4x. Bestem afstanden fra punktet T til linjen t_1:
Bestemt til 4/sqrt(17).
Gør rede for, at t_1 er tangent til parablen i punktet P(-(3/2) , 6).
Her har jeg først sat de to ligninger lig hinanden og dernæst løst andengradsligningen, der har en løsning. Endelig bestemmer jeg andengradsligningen (førstekoordinaten) og dernæst andenkoordinaten, og ser det er korrekt, at t_1 er tangent til parablen i punktet P(-(3/2) , 6).
Det er så den sidste opgave der volder mig problemer:
Parablen har endnu en tangent t_2 med en ligning af typen y = ax. Bestem en ligning for t_2:
Jeg har aflæst ligningen til at være t_2 = 2x, men ved ikke rigtig hvordan jeg skal forklare det. Har tænkt på at differentiere parablens ligning, hvilket giver 2x - 1, og dernæst kigge på førstekoordinaten til t_1's berøringspunkt (= -1,5). Det viser sig, t_2 har hældningskoefficienten 2:
y = 2x - 1 = 2*1,5 - 1 = 2
og tangentens ligning bliver derfor:
y - 0 = 2(x-0) <=> y = 2x
Punktet der benyttes er naturligvis O (0,0), idet tangenten jo skal være af typen y = ax.
Mit spørgsmål er hvorfor det gælder at t_1 og t_2's berøringspunkter med parablen har samme førstekoordinat med modsat fortegn, for det er vel oplysningen om førstekoordinaten til berøringspunktet mellem t_1 og parablen, der skal benyttes til bestemmelsen af t_2 ??
Håber I forstår hvad jeg mener.
Mvh
Peter
Jeg er i gang med en matematikopgave og er stødt ind i et problem:
"I et koordinatsystem er en parabel bestemt ved ligningen
y = x^2 - x + 9/4"
Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt T:
Bestemt til T((1/2) , 2)
En linje t_1 er bestemt ved ligningen y = -4x. Bestem afstanden fra punktet T til linjen t_1:
Bestemt til 4/sqrt(17).
Gør rede for, at t_1 er tangent til parablen i punktet P(-(3/2) , 6).
Her har jeg først sat de to ligninger lig hinanden og dernæst løst andengradsligningen, der har en løsning. Endelig bestemmer jeg andengradsligningen (førstekoordinaten) og dernæst andenkoordinaten, og ser det er korrekt, at t_1 er tangent til parablen i punktet P(-(3/2) , 6).
Det er så den sidste opgave der volder mig problemer:
Parablen har endnu en tangent t_2 med en ligning af typen y = ax. Bestem en ligning for t_2:
Jeg har aflæst ligningen til at være t_2 = 2x, men ved ikke rigtig hvordan jeg skal forklare det. Har tænkt på at differentiere parablens ligning, hvilket giver 2x - 1, og dernæst kigge på førstekoordinaten til t_1's berøringspunkt (= -1,5). Det viser sig, t_2 har hældningskoefficienten 2:
y = 2x - 1 = 2*1,5 - 1 = 2
og tangentens ligning bliver derfor:
y - 0 = 2(x-0) <=> y = 2x
Punktet der benyttes er naturligvis O (0,0), idet tangenten jo skal være af typen y = ax.
Mit spørgsmål er hvorfor det gælder at t_1 og t_2's berøringspunkter med parablen har samme førstekoordinat med modsat fortegn, for det er vel oplysningen om førstekoordinaten til berøringspunktet mellem t_1 og parablen, der skal benyttes til bestemmelsen af t_2 ??
Håber I forstår hvad jeg mener.
Mvh
Peter
Svar #1
14. januar 2006 af KickAzz (Slettet)
Ingen der kan hjælpe. Det er opgave 6a fra studentereksamen år 2005 for matematisk linje 2-årigt forløb til B-niveau.
Sættet kan findes her:
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/sommer05/MED0582.pdf
Sættet kan findes her:
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/sommer05/MED0582.pdf
Svar #4
15. januar 2006 af fixer (Slettet)
Inden besvarelsen af dit egentlige spørgsmål, vil jeg knytte en kommentar til følgende paragraf:
"Her har jeg først sat de to ligninger lig hinanden og dernæst løst andengradsligningen, der har en løsning. Endelig bestemmer jeg andengradsligningen (førstekoordinaten) og dernæst andenkoordinaten, og ser det er korrekt, at t_1 er tangent til parablen i punktet P(-(3/2) , 6). "
Hvis jeg forstår dette ret, har du blot vist at linien og parablen kun har eet punkt fælles. Du mangler sådan set at gøre rede for at linien er tangent til parablen i dette punkt. Du skal derfor enten vise at tangenthældningen i punktet er lig -4 _eller_ gøre rede for, at enhver linie, der har netop eet punkt fælles med en parabel, er enb tangent til parablen i dette punkt.
Nu til dit spørgsmål.
Tangenthældningen i et punkt (x0,x0²-x0+9/4) på parablen er 2x0-1. Enhver af tangenterne til parablen har derfor en ligning på formen
y = (2x0-1)(x-x0)+x0²-x0+9/4 <=>
y = (2x0-1)x - x0²+9/4
Vi må altså kræve at konstantleddet
-x0²+9/4 = 0
for at tangentligningen antager formen y=ax. Ligningen har løsningerne x0=±3/2 således at den anden tangentligning bliver y=2x.
Det er altid tilfældet, at hvis en parabel har to tangenter på formen y=kx, da er førstekoordinaten til punkterne hvori disse linier er tangent numerisk ens.
Argumentet er blot en generalisering af ovenstående regninger. Betragt parablene med ligningen
y = ax²+bx+c , a E R\\{0}, b,c E R
Tangenthældningen i punktet (x0,ax0²+bx0+c) er 2ax0+b og enhver tangent har da en ligning på formen
y = (2ax0+b)(x-x0)+ax0²+bx0+c <=>
y = (2ax0+b)x - ax0²+c
For at tangentligningen kommer på formen y = kx må kræves
-ax0²+c = 0
eller
x0² = c/a
hvor det må forudsættes at a og c har samme fortegn.
"Her har jeg først sat de to ligninger lig hinanden og dernæst løst andengradsligningen, der har en løsning. Endelig bestemmer jeg andengradsligningen (førstekoordinaten) og dernæst andenkoordinaten, og ser det er korrekt, at t_1 er tangent til parablen i punktet P(-(3/2) , 6). "
Hvis jeg forstår dette ret, har du blot vist at linien og parablen kun har eet punkt fælles. Du mangler sådan set at gøre rede for at linien er tangent til parablen i dette punkt. Du skal derfor enten vise at tangenthældningen i punktet er lig -4 _eller_ gøre rede for, at enhver linie, der har netop eet punkt fælles med en parabel, er enb tangent til parablen i dette punkt.
Nu til dit spørgsmål.
Tangenthældningen i et punkt (x0,x0²-x0+9/4) på parablen er 2x0-1. Enhver af tangenterne til parablen har derfor en ligning på formen
y = (2x0-1)(x-x0)+x0²-x0+9/4 <=>
y = (2x0-1)x - x0²+9/4
Vi må altså kræve at konstantleddet
-x0²+9/4 = 0
for at tangentligningen antager formen y=ax. Ligningen har løsningerne x0=±3/2 således at den anden tangentligning bliver y=2x.
Det er altid tilfældet, at hvis en parabel har to tangenter på formen y=kx, da er førstekoordinaten til punkterne hvori disse linier er tangent numerisk ens.
Argumentet er blot en generalisering af ovenstående regninger. Betragt parablene med ligningen
y = ax²+bx+c , a E R\\{0}, b,c E R
Tangenthældningen i punktet (x0,ax0²+bx0+c) er 2ax0+b og enhver tangent har da en ligning på formen
y = (2ax0+b)(x-x0)+ax0²+bx0+c <=>
y = (2ax0+b)x - ax0²+c
For at tangentligningen kommer på formen y = kx må kræves
-ax0²+c = 0
eller
x0² = c/a
hvor det må forudsættes at a og c har samme fortegn.
Skriv et svar til: Analytisk geometri
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.