Partiel Ingration

Hint:

Sxlnxdx=x[xlnx-x]-S[xlnx-x]dx=x[xlnx-x]-Sxlnxdx+Sxdx

så ... (jeg har ladet k=0):

2Sxlnxdx=xxlnx-xx/2 i.e. Sxlnxdx=0,5xx[lnx-0,5]

ved brug af Darwins anvisninger plus en del mellemregninger endes op i

S(x*ln(x+2))dx
=1/2*x^2*ln(x+2)-2ln(x+2)-1/4x^2+x (uden integrationskonstant)

det bestemte integral fra -1 til 1
giver
2-1.5*ln(3)ca. = 0.352082

#0:
Der er tale om integralet

S[x*log(x+2)]dx, x=-1..1

Start med lave foretage substitutionen

u = x+2 => x = u-2
u = x+2 => dx = du

så får du integralet (hvor grænserne nu er u=1..3, men dem undlader jeg for at lette notationen)

S[(u-2)*log(u)]du
= S[u*log(u)-2*log(u)]du
= S[u*log(u)]du - 2*S[log(u)]du

Ved at indsætte u=1 og u=3 som grænser, får vi at sidste integral er lig med

2*S[log(u)]du, u=1..3
= 2*[u*(log(u)-1)]_1^3
= 2*{(3*(log(3)-1) - (1*(log(1)-1)}
= 2*{3*log(3)-3 - 1*(0-1)}
= 2*{3*log(3)-2}
= 6*log(3)-4

Nu skal vi så have fundet en stamfunktion til u*log(u). Her skal vi bruge partiel integraltion; lad

f(u) = u => F(u) = 1/2u²
g(u) = log(u) => g'(u) = 1/u

hvor jeg har udeladt integraionskonstanten på F(u). Heraf fås, at

S[u*log(u)]du
= 1/2u²*log(u) - S[1/2u²*1/u]du
= 1/2u²*log(u) - 1/2*S[u]du
= 1/2u²*log(u) - 1/2*1/2u²
= 1/4u²(2*log(u)-1)

Hvis vi indsætter grænserne u=1 og u=3 fås, at

S[u*log(u)]du, u=1..3
= 1/4*{3²(2*log(3)-1) - 1²(2*log(1)-1)}
= 1/4*{9*(2*log(3)-1) - 1*(2*0-1)}
= 1/4*{18*log(3)-9 + 1}
= 1/4*{18*log(3)-8}
= 9/2*log(3) - 2

Alt i alt har vi så, at

S[x*log(x+2)]dx, x=-1..1
= (9/2*log(3) - 2) - (6*log(3)-4)
= 9/2*log(3) - 2 - 6*log(3) + 4
= (6-9/2)*log(3) + 2
= 2 - 3/2*log(3)

Mange tak!

Utroligt at jeg ikke selv så det, men tak..

Casper

#3:
Næstsidste linje skal selvfølgelig være

= (9/2-6)*log(3) + 2


#4:
Velbekomme.

Skulle bare lige have den først substistution på plads, var nemlig ikke sikker på jeg måtte bruge substitution, da opgaven ligger under partiel integration og substitution bliver nemlig først gennemgået i næste kapitel. Nå men tak!

Casper