vektorer i rummet

Hej

Vektorerne AB og i er begge retningsvektorer for planen. Kryds de to vektorer og du vil få en normalvektor til planen, og så har du jo også et fast punkt på planen (enten A eller B).

Okay :) troede jeg ikke man måtte medmindre at "enderne" af vektorerne man krydser rørte hinanden.. ;)

Men tak for det :)

Du kan jo til enhver tid parallelforskyde en vektor, så det er ligemeget.

ja okay ;)

Beregn vektor AB= vektor OB-vektor OA=
(-1,1,-1)-(3,4,5)=(-4,-3,-6).


altså vektor AB=(-4,-3,-6)

den søgte plan er parallel med både vektor (-4,-3,-6) og vektor i=(1,0,0), hvorfor en normalvektor til den søgte plan står vinkelret på begge disse vektorer.

En normalvektor vinkelret på begge vektorerne AB og i findes ved at danne det vektorielle krydsprodukt af disse to:

vektor AB x vektor i = (0,-6,3); denne vektor kaldes n.

Altså vektor n =(0,-6,3).

Hvis punktet P0 er et vilkårligt udgangspunkt i planen f. eks. A, har vi for vilkårligt punkt P=(x,y,z) i planen, at vektor AP= ((x-3),(y-4),(z-5))er vinkelret på vektor n. Det skalære produkt mellem disse sidstnævnte to vektorer er altså konstant = 0 uanset hvor i planen det variable punkt P ligger - det er jo netop beskrivelsen af alle planens punkter.
Prikproduktet (skalarproduktet) mellem vektorerne n og AP er lig med nul

skalarprodukt: n.AP0 (0 skal stå som index)=, hvilket giver

-6y+3z+9=0 eller divideret igennem med -3
2y-z-3=0, hvilket er en ligning for den søgte plan.