Toppunkt.

Hej folkens.

Jeg har nået komplikationer ved bestemmelsen af toppunktet k i et andengradspolynomium. Mere om det senere - først min fremgangsmåde.

Fra parallelforskydningen af y = ax^2 ved vi, at den parallelforskudte parabel får ligningen y = a(x-h)^2+k.

Vi ønsker, at denne ligning skal være lig det almindelige andengradspolynomium ax^2+bx+c, eftersom y = a(x-h)^2+k netop fremstiller en parabel med toppunkt i (h,k).

Lad os altså omskrive y = a(x-h)^2+k:

y = a(x-h)^2+k

<=> y = a(x^2-2xh+h^2)+k

<=> y = ax^2-2axh+ah^2+k

Denne ligning skal altså være ensbetydende med ax^2+bx+c, således:

ax^2+bx+c <=> ax^2-2axh+ah^2+k

Det fremgår, at andengradsleddene stemmer overens. Lad os derfor bestemme h, så førstegradsleddene stemmer overens for alle x:

bx = -2axh

<=> b = 2ah

<=> h = -(b/2a)

Vi har således det ene toppunkt h. Lad os nu bestemme k, så konstantleddene stemmer overens:

c = ah^2+k

<=> k = c-ah^2

Vi indsætter nu den værdi, vi fandt ved isolering af h, i den værdi, vi netop har fundet for k:

k = c-ah^2

= c-a*(-(b/2a))^2

= c-a*(-(b^2/4a^2)

= c-(ab^2/4a^2)

= c-(b^2/4a)

(Og så når jeg det punkt, hvor jeg ikke forstår mere, fordi bogen forvirrer:)

= (4ac-b^2)/(4a)

= (-(b^2-4ac))/4a

= -(d)/(4a)

Bogen minder herefter om, at d er diskriminanten b^2-4ac, hvilket jeg er klar over.

Men jeg kan simpelthen ikke forstå springet:

= c-(b^2/4a)

= (4ac-b^2)/(4a)

Det giver ingen mening i mit hoved :s

Er der nogen, der kan hjælpe?