differentialkvotient af x^n

Vi kan bevise den ved induktion.

Basisskridt - Vis at

d(x^n)/dx = nx^(n-1) for n=1:

Vi opstiller differenskvotienten og lader x gå mod x0:

(x^1-x0^1)/(x-x0) = (x-x0)/(x-x0) -> 1 for x -> x0.

Da 1 = 1*x^(1-1), har vi vist basisskridtet.

Induktionsskridt - Antag at

d(x^n)/dx = nx^(n-1).

Vis at dette medfører, at

d(x^(n+1))/dx = (n+1)*x^(n-1+1) = (n+1)*x^n:

Vi omskriver x^(n+1) til x*x^n. Benytter vi nu vores antagelse om differentialkvotienten af x^n, samt produktreglen, har vi:

(x*x^n)' =
(x)'*x^n + x*(x^n)' =
x^n + x*n*x^(n-1) =
x^n + n*x^n =
(n+1)*x^n

Vi har hermed vist induktionsskridtet, og dermed at formlen gælder for alle postive, hele værdier af n. Tilfældet n=0 klares let som et specialtilfælde, og hvis n er negativ, kan man omskrive til 1/x^n og bruge brøkreglen.