Matematik

Komplekse Faktoriseringer

03. september 2006 af Terriator (Slettet)

Hej, jeg skal faktorisere flg. udtryk: z^2 + 1..

Faktoriseringen skal bestå af de 5 rødder på formen (z-r1)(z-r2)..(z-r5). Nogen der kan løse den for mig og forklare hvad man gør?

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. september 2006 af sigmund (Slettet)

Du skal altså faktorisere udtrykket z² + 1?

Det kan gøres ved at løse ligningen z² + 1 = 0. Den har to rødder, r1 og r2. Udtrykket kan derfor også skrives (z-r1)(z-r2).

(Hvor har du det fra, at der er 5 rødder?)

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. september 2006 af chrisjorg (Slettet)

Hmmm,
komplekse rødder kommer altid i konjugerede par.
Jeg mener ikke man kan have et ulige antal af rødder.

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. september 2006 af fixer (Slettet)

#2
Ikke helt korrekt.

Af algebraens fundamentalsætning følger, at ethvert polynomium af n'te grad over de komplekse tal har netop n rødder i C.

Af samme sætning følger, at eventuelle komplekse rødder i et polynomium over de _reelle_ tal, altid kommer i komplekst konjugerede par.

Et 5'te grads polynomium med komplekse koefficienter kan derfor have 5 distinkte komplekse rødder.

Et 5'te grads polynomium med reelle koefficienter har 2 par komplekst konjugerede og en reel rod i C.

Svar #4
03. september 2006 af Terriator (Slettet)

Ups, den hedder selvfølgelig z^5 + 1.. Ikke ^2.. undskyld..=)

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. september 2006 af Darwin (Slettet)

z^5=-1

-1=e^(i(pi+2*pi*k)) hvor k = ...,-1,0,1,2,3,... osv.

så z=e^(i(pi+2*pi*k)/5)

NB lad k = 0,1,2,3,4 (spørg dig selv: hvorfor?)

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. september 2006 af Darwin (Slettet)

PS

e^(iø)=cos(ø) + isin(ø)

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. september 2006 af fixer (Slettet)

Præcisering af mit eget indlæg #3:

'Et 5'te grads polynomium med reelle koefficienter har 2 par komplekst konjugerede og en reel rod i C.'

->

Et 5'te grads polynomium med reelle koefficienter kan f.eks. have 2 par komplekst konjugerede og en reel rod i C.

Skriv et svar til: Komplekse Faktoriseringer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.