Fysik

Tvillinge paradoks

28. september 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg har denne opgave som jeg ikke kan finde ud af. Er helt blank så håber at nogen kan hjælpe mig.

"Vi tænker os at Jorden (og dermed tvilling A) ligger stille i begyndelsespunktet for initialsystemet S, og at tvilling B starter fra Jorden med begyndelseshatigheden 0 til tiden t = 0. Vi tænker os endvidere, at i forhold til det øjeblikkelige hvilesystem S' (dvs. det initialsystem i hvilket raketten i det givne øjeblik er i hvile) har raketten den konstante acceleration a0. (Bemærk, at det øjeblikkelige hvilesystem S' skifter hele tiden!)

Antag, at accelerationen af uret i raket B ikke har nogen indflydelse på urets gang. Eller sagt på en anden måde: tilvæksten i urets egentid dT er til ethvert tidspunkt det samme som tilvæksten dt' på et ur, der er fast knyttet til rakettens øjeblikkelige hvilesystem S'.

Efter en vis tid t i initialsystemet S har raketten B opnået hastigheden v i forhold til S (og dermed i forhold til tvilling A). Rakettens ur viser da tiden T."

(1) Vis, at ovenstående antagelse medfører, at

dT/dt = sqrt(1 - v^2/c^2)

(2) Vis, at raket B's acceleration i forhold til S på dette tidspunkt er

a = a0*(1 - v^2/c^2)^(3/2)

Der er også nogle flere spørgsmål, men dem tror jeg godt at jeg kan løse hvis jeg bare kan komme gennem de her to spørgsmål.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#0:
Spørgsmål 1 følger af længdeforkortelsen. I og med at dT = dt' til enhver tid, er

dt = gamma(v)*dt' = gamma(v)*dT =>
dT/dt = 1/gamma(v)

hvor vi som sædvanlig har

gamma(v) = 1/sqrt(1 - v^2/c^2).

Prøv at se om du ikke kan klare spørgsmål 2.

Svar #2
28. september 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Nå ja, det kan jeg da godt se når du nu siger det.

Jeg er virkelig helt blank på spørgsmål 2, så hvis en eller anden kan hjælpe mig her, vil det være rigtig dejligt.

Svar #3
28. september 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg skal sikkert bruge resultatet fra spørgsmål 1 til noget, men kan let ikke se hvordan...

Svar #4
29. september 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

I det næste spørgsmål skal jeg bestemme v(t) ved at integrere ligningen fra spm. 2. Jeg har fået at

v(t) = a0*t/sqrt(1 + (a0/c)^2*t^2)

Er det rigtigt?

Og til sidst skal jeg så finde T(t). Her har jeg indsat v(t) for spm. 3 i ligningen i spm. 1:

dT/dt = c/sqrt(a0^2*t^2 + c^2)

og så løst denne diff.ligning:

T(t) = c/a0*ln(2*a0*t + 2*sqrt(a0^2*t^2+c^2))

Er det rigtigt?

Jeg vil stadig gerne have hjælp til at vise ligningen i spm. 2.

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. september 2006 af fixer (Slettet)

I spm 2 udnyttes atter Lorentztransformationen

x' = gamma(x-vt)

Differentier 2 gange mht t' (eller omskriv og differentier 2 gange mht t) og udnyt resultatet fra spm. 1.

Svar #6
30. september 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg kan ikke få det til at passe ... gider du at vise mig hvordan du vil gøre det? Bare den første differentiering, så kan jeg sikkert godt klare den anden.

Svar #7
01. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg kan simpelthen ikke finde ud af det. Her er hvad jeg har prøvet med.

x' = (x-v*t)*1/sqrt(1-v^2/c^2) = (x-dx/dt*t)*1/sqrt(1-(dx/dt)^2/c^2)

Jeg har prøvet som fixer skriver i #5.

dx'/dt' = dx'/(dt/gamma(v)) = gamma(v)*dx'/dt

Men så aner jeg ikke hvad skal gøre med den anden side af ligningen. Såvidt jeg kan se, er den jo uafhængig af t' og så giver det jo bare 0 som tydeligvis ikke er rigtigt.

Svar #8
01. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Okay, nu har jeg måske fundet ud af hvordan jeg skal gøre, men synes det bliver noget vildt noget:

d²[x']/dt'² = gamma(v)²*d²[x']/dt² = gamma(v)²*d²[(x(t)-v(t)*t)*gamma(v(t))]/dt²

Hvis jeg indtaster det på

http://calc101.com/webMathematica/derivatives.jsp

og differentierer mht. t så får jeg et helt vildt stort og kompilceret udtryk.

Svar #9
02. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Det her er heller ikke rigtigt vel?

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. oktober 2006 af fixer (Slettet)

Vink:

Du kan udnytte, at ved differentiation mht t', af gamma(x-vt) kan for eksempelvis den afledede af x mht t' skrives

dx/dt' = dx/dt*dt/dt' = u*dt/dt'

hvor u = dx/dt og dt/dt' kendes fra spm 1.

Svar #11
02. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Hej fixer. Jeg betvivler ikke at du har helt ret, men må nok indrømme at jeg stadig er ret blank. Gider du at tage f.eks.

d(-v*t*gamma(v))/dt'

for mig? Jeg bliver vist nok også forvirret af det med gamma(v) som vel også skal differentieres.

Svar #12
02. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg skriver lige hvorfor jeg går i stå ... så du kan se at jeg har prøvet.

dx'/dt' = d((x-v*t)*gamma(v))/dt' = gamma(v)*d((x-v*t)*gamma(v))/dt = gamma(v)*(d(x*gamma(v))/dt-d(v*t*gamma(v))/dt)

Så tager jeg første led. Her har jeg at hvis dv/dt = a for accelerationen, så er

d(sqrt(1-v^2/c^2))/dt = ... = -v/c^2*a*gamma(v)

Så er

d(x*gamma(v))/dt = d(x/sqrt(1-v^2/c^2))/dt = (dx/dt*sqrt(1-v^2/c^2)-x*d(sqrt(1-v^2/c^2))/dt)/gamma(v)^(-2) = (v*gamma(v)^(-1)-x*(-v/c^2*a*gamma(v)))*gamma(v)^2 = gamma(v)*v*(1 + gamma(v)^2*x*a/c^2)

Så prøver jeg med det sidste led i dx'/dt':

d(v*t)/dt = dv/dt*t+v*dt/dt = a*t+v

Så er

d(v*t*gamma(v))/dt = d(v*t/sqrt(1-v^2/c^2))/dt = (d(v*t)/dt*sqrt(1-v^2/c^2)-v*t*d(sqrt(1-v^2/c^2))/dt)/gamma(v)^(-2) = ((a*t+v)*gamma(v)^(-1)-v*t*(-v/c^2*a*gamma(v)))*gamma(v)^2 = gamma(v)*(a*t + v + gamma(v)^2*a*t*v^2/c^2)

I alt har jeg så at

dx'/dt' = gamma(v)^2*((v+gamma(v)^2*x*a*v/c^2))-(a*t+v+gamma(v)^2*a*t*v^2/c^2)) = gamma(v)^2*((x-v*t)*a*v/c^2*gamma(v)^2 - a*t)

Jeg har sikkert lavet en masse regnefejl og ladet være med at forkerte på smarte måder, så vil være meget taknemmelig hvis du gider at vise mig hvordan det skal gøres. Og så kan jeg slet ikke overskue at differentiere dette udtryk endnu en gang.

Undskyld min åbenlyse dumhed, men håber at du vil hjælpe mig alligevel.

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. oktober 2006 af fixer (Slettet)

For en alternativ udledning, se:
http://physics.nmt.edu/~raymond/classes/ph13xbook/node59.html

Svar #14
02. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Tak for det! Gider du evt. at vise mig hvordan jeg laver det på den anden måde år du engang får tid til det?

Brugbart svar (0)

Svar #15
02. oktober 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#12:
Det kan gøres ret hurtigt ved at bruge formlen for addition af relativistiske hastigheder;

u = (v + u')/(1 + vu'/c²)

Husk, at v er uafhængig af t', så ved brug af reglen for differentiation af en brøk, får følgende:

du/dt'
= ...
= a'/(gamma²(v) (1 + vu'/c²)²)

hvor a' = du'/dt'. Det oplyses at a' = a_0, og da u' = 0 (i det givne øjeblik er raketten jo i hvile i S'), har du netop

a
= du/dt
= du/dt' dt'/dt
= a_0/(gamma²(v)*(1 + 0)²) 1/gamma(v)
= a_0 (1-v²/c²)^(3/2)

Svar #16
03. oktober 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Det tror jeg faktisk godt at jeg forstår. Tak for hjælpen begge to!

Skriv et svar til: Tvillinge paradoks

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.