Matematik

Regneregeler for differentialregning

09. december 2006 af tumle (Slettet)

Hej med jer alle,

Jeg skal føre bevis for de regneregeler for diffrentialregning som står i min formelsamling.

De er som følger:

f(x)=lnx
f'(x)=1/x

f(x)=e^x
f'(x)=e^x

f(x)=e^kx
f'(x)=ke^kx

f(x)=a^x
f'(x)=(a^x)*lnx

f(x)=1/x = x^-1
f'(x)= -1/x^2 = -x^-2

f(x)=rod(x)=x^(1/2)
f'(x)=1/2*rod(x)=(1/2)x^-(1/2)

f(x)=cosx
f'(x)=-sinx

f(x)=sinx
f'(x)=cosx

f(x)=tanx
f'(x)=1/(cosx)^2 = 1+(tanx)^2

Dette er dem der står i min formelsamling og derfor også dem jeg gerne vil bevise. Jeg håber der er nogle som vil være så søde at hjælpe mig og meget gerne foklare hvad i gør når i viser et bevis, så vidt det nu er muligt, for jeg vil jo meget gerne også forstå det rigtig godt :o)

På forhånd tak

Mange venlig hilsner
Rasmus

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2006 af Waterhouse (Slettet)

Noget af en opgave.

De beviser jeg har fået i matematiktimen gennem tiden:

f(x)=lnx
f'(x)=1/x

...følger af definitionen af ln(x) som stamfunktion til 1/x.

f(x)=e^x
f'(x)=e^x

...benyt at e^x er den omvendte funktion til ln(x), og benyt formlen for differentialkvotient af en omvendt funktion.

f(x)=e^kx
f'(x)=ke^kx

...sammensat funktion, kx som indre funktion og e^x som ydre.

f(x)=a^x
f'(x)=(a^x)*lnx

omskriv a^x til e^(x*ln(a)) og regn som en sammensat funktion.

f(x)=1/x = x^-1
f'(x)= -1/x^2 = -x^-2
og
f(x)=rod(x)=x^(1/2)
f'(x)=1/2*rod(x)=(1/2)x^-(1/2)

Reglen for differentation af en potensfunktion, (x^n)'=n*x^(n-1)

cos og sin er lidt mere drilske, vil jeg helst ikke ud i at forklare uden at kunne tegne. tan går nemmere, hvis man skriver den som cos/sin og benytter brøkreglen.

Svar #2
09. december 2006 af tumle (Slettet)

Det er ikke for at være krævende, men jeg håbede lidt på at du måske kunne give matematisk gennemgang også, jeg kan ikke helt gennemskue det må jeg indrømme.

sorry :o)

Hilsen
Rasmus

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. december 2006 af Waterhouse (Slettet)

Hmm, hvis det er dem alle sammen du har problemer med, vil jeg anbefale at finde en matematikbog for 2.g, der bliver det oftest udledt. Kan anbefale Højniveaumatematik 1 af Thomas Hebsgaard.

Har ikke selv tid lige nu, sidder med en SSO der skal skrives.

Svar #4
09. december 2006 af tumle (Slettet)

okay, men ellers mange tak.

Jeg har prøvet her er den ene:

(e^(x*ln(a))'=
e^(x*ln(a))*(1*ln(a)+x*1/a)=
a^x*(ln(a)+x/a)

Ja som i ser er jeg nok helt galt på den, jeg har brugt (f o g)'(x) i første omgang og næste skal den indre funktion differentieres hvilket jeg må gøre med (f*g)'(x) da de er ganget sammen, er det ikke korrekt eller?...

Svar #5
09. december 2006 af tumle (Slettet)

hov der var den :o))

Kom lige i tanke om en lille detalje.

(e^(x*ln(a))'=

e^(x*ln(a))*(x*ln(a))'=

a^x*ln(a)*(x)'=

a^x*ln(a)*1=

a^x*ln(a)

er det ikke rigtigt gjort??? :o))

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. december 2006 af Waterhouse (Slettet)

Jo, det er korrekt.

Svar #7
09. december 2006 af tumle (Slettet)

Og så har jeg fundet ud af følgende:

(e^kx)'=

e^kx*k=

ke^kx

og ved brug af f(x)=x^a bliver til f'(x)=ax^(a-1) har jeg fundet frem til de to sidste:

(x^-1)'=

-1x^-2=

-x^-2

og

(x^(1/2))'=

(1/2)x^-(1/2)

Har jeg gjort det korrekt?

Så kommer spørgsmålet, hvordan beviser jeg at

f(x)=x^a
f'(x)=ax^(a-1)

og så kan jeg altså ikke gennemskue hvad du mener med disse to:

f(x)=lnx
f'(x)=1/x

...følger af definitionen af ln(x) som stamfunktion til 1/x.

f(x)=e^x
f'(x)=e^x

...benyt at e^x er den omvendte funktion til ln(x), og benyt formlen for differentialkvotient af en omvendt funktion

Skriv et svar til: Regneregeler for differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.