Matematik

Lipschitz for vektorfunktion

12. december 2006 af Sabrina (Slettet)
Jeg har en funktion f: R^2 -> R^2 og to funktioner u: R -> R^2
f opfylder en lokal lipschitz betingelse, dvs.:

Der eksisterer K > 0, så for alle v R, \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 i R^2: ||\mathbf{f}(v,\mathbf{u}_1(v))-\mathbf{f}(v,\mathbf{u}_2(v))|| =<
K * ||\mathbf{u}_1(v)-\mathbf{u}_2(v)||

Jeg skal bruge det på en sådan måde, at jeg får følgende ulighed (hvor f_1 og f_2 angiver henholdsvis 1. og 2. komponenten af f):

\int^t_{t_0} |[f_1(v,\mathbf{u}_1(v))-f_1(v,\mathbf{u}_2(v))]|dv
+
\int_{t_0}^t |(f_2[v,\mathbf{u}_1(v))-f_2(v,\mathbf{u}_2(v))]|dv

=<

K* \int^t_{t_0} |u_1^1(v)-v_2^1(v)|dv + K* \int^t_{t_0} |u_1^2(v)-v_2^2(v)|dv

Men hvordan gør jeg det?

Håber det er læsbart :)

Svar #1
12. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Er der forresten én, der kan skrive en global og en lokal lipschitz betingelse op, således jeg kan se, hvad forskellen er?

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. december 2006 af fixer (Slettet)

#0
Brug enhver matematikers favoritulighed.

#1
I tvivl om hvad du mener.

Lokal Lipschitz:
----------------
f er lokalt Lipschitz på domænet d D E R^n hvis for alle x i D findes en omegn N(x) om x og et K > 0 så

||f(y) - f(z)|| =< K||y-z||

for alle y,z E I(x).


Global Lipschitz:
-----------------
f er globalt Lipschitz hvis der findes et K > 0 så

||f(x) - f(y)|| =< K||x-y||

for all x,y i R^n.


Meget løst sagt: Lokalt Lipschitz betyder at man kan finde en omegn indenfor hvilken den globale Lipschitz betingelse er opfyldt.

f(x) = x^2 er et eksempel på en funktion der er lokalt, men ikke globalt Lipschitz kontinuert.

Svar #3
12. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Tak for svaret endnu en gang, Martin :)

"Brug enhver matematikers favoritulighed."

Tænker du her på følgende:

kvadratrod(a^2+b^2) =< |a|+|b|?

I så fald har jeg overvejet det, men kan simpelthen ikke finde ud af det.



Hvis x^2 opfylder en lokal lipschitz-betingelse, hvorfor opfylder x'=x^2 så ikke eksitens- og entydighedssætningen?

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. december 2006 af fixer (Slettet)

#3
Jeg tænkte på trekantsuligheden. Ved du ligefrem hvilken norm, der er tale om?

"Hvis x^2 opfylder en lokal lipschitz-betingelse, hvorfor opfylder x'=x^2 så ikke eksitens- og entydighedssætningen?"

Hvorfor gør den ikke det ? Løsninger til x'=x² , x(0) = x_0 eksisterer lokalt for alle x_0.

Svar #5
12. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Undskyld, at jeg ikke nævnte det.
Der er tale om følgende norm:

a=(a_1,a_2) i R^2

||a||=kvadratrod(a_1^2+a_2^2)



Du har ret (selvfølgelig) i x'=x^2. Lige en tanketorsk.

Svar #6
13. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Godmorgen!

Jeg kan simpelthen ikke se, hvordan trekantsuligheden giver det ønskede resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. december 2006 af fixer (Slettet)

#6
Jeg tror nu heller ikke det ønskede resultat i #0 er korrekt opskrvet, selvom jeg måske nok kan gætte mig til det.

Prøv at se om flg hjælper dig videre:

||S[f(v,u1)]dv-S[f(v,u2)]dv|| =

||S[( f1(v,u1)-f1(v,u2) , f2(v,u1)-f2(v,u2) )]dv || =

||S[( f1(v,u1)-f1(v,u2)]dv, S[f2(v,u1)-f2(v,u2) )]dv)|| =<

|S[( f1(v,u1)-f1(v,u2)]dv| + |S[f2(v,u1)-f2(v,u2) )]dv| =< (bør egentligt vises)

S|[( f1(v,u1)-f1(v,u2)]|dv + S|[f2(v,u1)-f2(v,u2) )]|dv

Brug nu middelværdisætningen til at komme fra funktionsdifferenser til argumentdifferenser. Det giver en konstant foran integraterne ganget med argumentdifferensen. Brug lokal Lipschitz til at argumentere for, at konstanten er =< Lipschitz konstanten. Det er hvad jeg lige kun ryste ud i en håndvending.

Svar #8
14. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Hej Martin

Efter at have brugt en del timer på det i dag lykkedes det mig endelig at få styr på det. Jeg takker mange gange for hjælpen i denne omgang :)

Hvordan kan det egentlig være, at du stadig husker så meget af det teori, du har haft? Og du læser ikke engang matematik (virkelig imponeret).

Glædelig jul :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. december 2006 af fixer (Slettet)

Hej Sabrina,

tak i lige måde.

Kunne du så bruge metoden i #7 eller fandt du på noget andet?

Årsagen til, at jeg husker noget er, at jeg indimellem piller nogle af mine lærebøger i matematik ned fra reolen og skimmer dem igennem. Dels af ren interesse men også for at undgå, at den viden jeg sugede til mig i studietiden helt forstøver.

Hvad har du om i dette semester ud over differentialligningsteori?

Svar #10
15. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Jeg valgte at vurdere funktionerne (uden at tage integralet af dem) mindre end lipschitz-konstanten ganget med normen af u_1 og u_2. På den måde kunne jeg let vurdere hvert komponent mindre end også - ud fra følgende:
kvadratrod (a^2+b^2) >= a

og så gik det faktisk rimelig smertefrit :)


Det var en rigtig god idé at gøre! Jeg kan godt mærke, at nogle ting hurtigt går i glemmebogen, hvis de ikke bliver brugt. Jeg er heldigvis hjælpelærer for en studerende, der går på 1. semester, så på den måde får jeg chancen for at holde min viden ved lige.

Projektet handler om differentialligninger - mere bestemt plane differentialligningssystemer. Her skal vi skrive om stabilitet, eksistens og entydighed samt numerisk approksimation. Et af emnerne skal vi gå i dybden med (for vores vedkommende er det eksistens og entydighed). Derudover skal vi anvende teorien på et eksempel (vi har valgt Lotka-Volterra).

Udover det har vi to kurser, som vi har mundtlige eksaminer i i januar:
- Vektorrum og metriske rum
- Algebra (grupper, legemer, polynomringe mv.)

Forhåbentligt kommer de til at gå godt.

Bruger du egentlig megen matematik i dit daglige arbejde?

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. december 2006 af fixer (Slettet)

I mit daglige arbejde er det primært almindelig matematisk analyse og kompleks funktionsteori jeg anvender. Det er så godt som umuligt at finde arbejde i dansk industri, hvor man beskæftiger sig med tung matematik. Årsagen er selvfølgelig, at rendyrket matematik beskæftiger sig med sig selv for sjovs skyld. I industrien skal man tjene penge på at sælge produkter, og der er ikke tid eller penge til at pille navle blot fordi det er spændende. Matematikken bliver derfor kun brugt til at modellere aspekter i de "dimser" man skal sælge, og der er det primært de nævnte discipliner der kommer til sin ret. Det er årsagen til at matematik på ingeniørstudierne har et ret anvendelsesorienteret sigte. Ingeniørstuderende lærer i almindelighed ikke om f.eks. abstrakt algebra, topologi, kategoriteori og mange andre ting.

Da jeg skulle vælge studie var det de tekniske interesser, der var udslagsgivende for studievalget. Jeg havde interessen for matematik, men turde ikke tage en cand. scient. i matematik af frygt for at ende som gymnasielærer (der var ikke de samme alternative jobmuligheder for matematikere dengang som nu). Matematikkurserne på ingeniørstudierne fandt jeg mangelfulde. Derfor supplederede jeg med en del samtidige matematikfag på KU som gæstestuderende og under tompladsordningen. Jeg vil tro jeg har hvad der svarerede til ca. 80-90% af en kandidatgrad i matemtik.

Jeg havde håbet på du ville stille nogle spørgsmål i algebra, for det synes jeg er en meget smuk teori :-)

Svar #12
16. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Tak for dit lange svar :)

Det er lidt pudsigt, for jeg er faktisk selv nervøs for at ende som matematiklærer. Kan du nævne de alternative jobmuligheder, som du kan komme i tanke om? Jeg har selv overvejet at læse datalogi som sidefag.

Kunne du godt finde tid til at følge forelæsninger i matematik ved siden af? Det er imponerende! Og jeg som synes, at jeg har rigeligt at tage mig til ;)

"Jeg havde håbet på du ville stille nogle spørgsmål i algebra, for det synes jeg er en meget smuk teori :-)"

Hehe! Det lyder virkelig godt, for jeg er helt sikker på, at der dukker mere end et spørgsmål op vedr. algebra, når jeg skal til at læse det op. Og det er faktisk min første eksamen.



Brugbart svar (0)

Svar #13
17. december 2006 af fixer (Slettet)

Aktuar (forsikringsmatematiker) og statistiker er to oplagte muligheder for matematikere.

Kombinationen med datalogi er fornuftig. Der er masser af spændende matematik i computer science. Der er også gode jobmuligheder som eksempelvis softwareudvikler. Men også der gælder, at du ikke skal forvente at komme til at bruge din stærke teoretiske ballast til noget. Specielt softwareindustrien lider under en ekstrem mangel på anvendelse analytiske metoder endsige erkendelse af deres berettigelse. Jeg har personlig erfaring med det.

Brugbart svar (0)

Svar #14
17. december 2006 af fixer (Slettet)

Hov, glemte:

"Kunne du godt finde tid til at følge forelæsninger i matematik ved siden af? "

Ja, det gik fint. Jeg kom nemlig aldrig til dem.

Svar #15
17. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Hehe! :)

Gad vide, om en matematiker kan blive ansat som aktuar? Der er jo en hel uddannelse på KU inden for det fag.

"Der er masser af spændende matematik i computer science."

Kan du komme på jobs inden for computer science, hvor der er rig mulighed for at anvende matematik?

Jeg tvivler dog på, at jeg kan få ansættelse som eksempelvis softwareudvikler, da der jo bliver uddannet utrolig mange dataloger og softwareingeniører hvert år.

Brugbart svar (0)

Svar #16
18. december 2006 af fixer (Slettet)

Du har ret mht aktuar; det aspekt overså jeg lige. Men er der ikke kommet en ny sundshedsmatematikeruddannelse på AAU? Så var det måske en vej at gå og ende som biostatistiker i et medicinalfirma. Anvendelsesorienteret matematik kan være ligeså hardcore som alt andet matematik, og jeg synes selv modelleringsaspektet er ret så væsentligt.

"Kan du komme på jobs inden for computer science, hvor der er rig mulighed for at anvende matematik? "

Nej, ikke et eneste i DK. Du skal til udlandet og beskæftiges i en virksomhed der laver software til aerospaceindustrien eller atomkraftværk: ting der absolut ikke må fejle. Der anvender man formelle metoder til programmelspecifikation.

Svar #17
18. december 2006 af Sabrina (Slettet)

Jo, første årgang sundhedsmatematikere går på samme semester som mig. Lige nu er der dog kun fire tilbage, skønt de startede omkring 15, vil jeg tro. Problemet med sundhedsmatematikeruddannelsen for mig er, at jeg ikke er sikker på, jeg vil "noget med statistik", og så blokere jeg mine andre muligheder ved at gå den vej.


Det lyder meget spændende med de jobs, du beskriver inden for aerospaceindustrien eller atomkraftværker. Det havde jeg aldrig selv tænkt på.

Skriv et svar til: Lipschitz for vektorfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.