Matematik

Lineær (u)afhængighed

29. marts 2007 af Quasar (Slettet)

Hej

Jeg har problemer med opgaver af følgende type:

Der er givet følgende sæt af fire vektorer

{a,b,c,d}

som er lineært uafhængigt. Afgør om det følgende sæt af vektorer er lineært afhængigt eller lineært uafhængigt:

{a+b,a-d,2c+d}

Jeg formoder, at jeg skal anvende definitionen, altså om ligningen

x1(a+b) + x2(a-d) + x3(2c+d) = o,

hvor o er nulvektoren

kun har løsningen x1,x2,x3 = 0 eller om der findes en konstant forskellig fra 0.

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Jeg er sikker på at der findes lettere måde at gøre det på, men:

Anta først x1=!0: Da gælder
a+b+x2/x1(a-d)+x3/x1(2c+d)=0, men så skal b skrives som en kombination af a,c,d hvilket pr. lineær uafhængighed ikke lader sig gøre

Antag så x2=!0: Da gælder
x1/x2(a+b)+a-d+x3/x2(2c+d)=0, men x1=0, så
a-d+x3/x2(2c+d)=0 og pr. uafhængighed kan a ikke skrives ved c og d.

Antag nu at x3=!0: Da gælder

x1/x3(a+b)+x2/x3(a-d)+(2c+d)=0, men x1, x2=0, så det kræver at både c og d er 0 vektoren og så var det ikke et lineært afhængigt sæt til at starte med.

Jeg ved ikke om det holder i retten, men måske du kan bruge det.

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. marts 2007 af sigmund (Slettet)

Jeg ville anvende definitionen. Se under "Example I" på http://en.wikipedia.org/wiki/Linearly_independent hvordan dette kan gøres.

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. marts 2007 af Madsst (Slettet)

#2 Hvad mener du med det? Linearkombination af uafhængige vektorer kan vel godt give afhængighed. Hvis for eksempel man valgte sætte {a,a,a} ville de jo være afhængige... Jeg er ikke sikker på at jeg forstår.

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. marts 2007 af sigmund (Slettet)

#3,

Hvilken del af det jeg har sagt i #2 spørger du til? I #2 har jeg kun sagt, at jeg ville anvende definitionen, og følgelig løse et ligningssystem. Derefter viste jeg til en Wikipedia-artikel. Kort sagt: hvad er spørgsmålet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Hmm... Måske ikke noget, jeg kan bare ikke lige se gennemskue hvordan man skal bruge eksemplet når man ikke kender koordinater.

Svar #6
29. marts 2007 af Quasar (Slettet)

Jeg synes heller ikke det er muligt at opstille en koefficientmatrix og rækkereducere. Kan det være noget med at gange ud og derfra se noget?

x1(a+b) + x2(a-d) + x3(2c+d) = o

x1a + x1b + x2a - x2d + 2x3c + x3d = o

Jeg er lidt blank.

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. marts 2007 af sheaf (Slettet)

#4
Spørgsmålet er slet og ret: hvad er det for en koefficientmatrix du vil opstille?

#1
Fremgangsmåden er helt korrekt. Der gælder jo nemlig, at en mængde af vektorer S = {v1,v2m,...,vn}, n>=2, er lineært afhængige hviss en af vektorerne i S kan skrives som en linearkombination af de øvrige.

Beviset er enkelt og nok en øvelse værd.

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. marts 2007 af sheaf (Slettet)

#7
v2m -> v2

Svar #9
30. marts 2007 af Quasar (Slettet)

Jeg er ikke helt sikker på, om jeg forstår #2.

Jeg prøver et nyt eksempel:

Der er givet følgende sæt af fire vektorer

{a,b,c,d}

som er lineært uafhængigt. Afgør om det følgende sæt af vektorer er lineært afhængigt eller lineært uafhængigt:

{a+2b+3c+4d,a+c,c+2d}

x1(a+2b+3c+4d) + x2(a+c) + x3(c+2d) = 0

Jeg forsøger at finde en vægt forskellig fra 0, således at ligningssystemet er nulvektoren.

x1=!0

a+2b+3c+4d + x2/x1(a+c) + x3/x1(c+2d) = 0

Hvordan er argumentet så for, at x1=0 / x1=!0

???

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Du kan nu se at a+2b+3c+4d må skulle skrives som en linearkombination af (a+c) og (c+2d). Specielt skal b kunne skrives som en linearkombination af a,c og d. Men det kan jo ikke lade sig gøre da a,b,c og d er lineært uafhængige. Så derfor kan x ikke være forskellig fra 0.

Svar #11
30. marts 2007 af Quasar (Slettet)

Okay, så b skal kunne skrives som en linearkombination af a,c, og d, fordi b som den eneste ikke er repræsenteret i x2/x1(a+c) + x3/x1(c+2d)?

Videre:

x1=0

x2=!0

(a+c) + x3/x2(c+2d) = 0

a skal skrives som en linearkombination af c og d, hvilket ikke kan lade sig gøre?

Videre:

x1,x2 = 0
x3=!0

c+2d = 0

Ovenstående ligningssystem er kun lineært, hvis c og d er nulvektoren, men det kan de ikke være, da {a,b,c,d} er lineært uafhængige, så der findes ingen konstanter x1,x2,x3 =! 0 så

x1(a+2b+3c+4d) + x2(a+c) + x3(c+2d) = 0

hvorfor {a+2b+3c+4d,a+c,c+2d} er lineært uafhængigt?

Er argumenterne de samme, hvis vektorerne er lineært afhængige, fx som følgende:

{a-b,a+b,a-c,a+c}

x1(a-b) + x2(a+b) + x3(a-c) + x4(a+c) = 0

a-b + x2/x1(a+b) + x3/x1(a-c) + x4/x1(a+c) = 0

Hvad er argumentet her?

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. marts 2007 af Madsst (Slettet)

a-b+1(a+b)-1(a-c)-1(a+c)=a-b+a+b-a+c-a-c=0, så der findes en lineær kombination, men husk nu på at det ikke normalt er sådan man undersøger lineær afhængighed. Normalt ville man jo opskrive systemet som en matrixligning og finde echelonformen/gauss eliminere.

Svar #13
31. marts 2007 af Quasar (Slettet)

Okay, det var måske et lidt for indlysende eksempel jeg kom med. Jeg ved at følgende sæt er lineært afhængigt, men hvordan er den metodiske måde at vise det på?

{c,c+d,2c+3d,c+2d}

x1c + x2(c+d) + x3(2c+3d) + x4(c+2d) = 0

x1=!0:

c + x2/x1(c+d) + x3/x1(2c+3d) + x4/x1(c+2d) = 0

Men her indgår c jo i alle leddene med konstant foran?

Tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #14
31. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Den metodiske måde er jo at rækkereducere matricen som jeg skriver ovenfor...

Svar #15
31. marts 2007 af Quasar (Slettet)

Jep, det er jeg med på, men spørgsmålet gik på eksemplet:

{c,c+d,2c+3d,c+2d}

x1c + x2(c+d) + x3(2c+3d) + x4(c+2d) = 0

Jeg kan se i facit, at vektorerne er lineært afhængige, men jeg kan ikke se, hvordan man indser det ligesom man kan, når de er lineært uafhængige.

I øvrigt mange tak fordi du vil hjælpe.

Brugbart svar (0)

Svar #16
31. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Du indser det ved at finde en linearkombination som giver 0. Men det bliver jo noget med at prøve sig lidt frem. For eksempel giver vektoren,
x=(0,1,-1,1), 0

Skriv et svar til: Lineær (u)afhængighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.