Matematik

Mat: minimering via ellipsekurve

14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

Hej jeg ønsker hjælp til de 2 første specielt b) i denne opgave, så skulle jeg gerne kunne klare resten.

En kvadratisk funktion i to variable er givet ved

f(x,y)=9x²-180x+4y²+k

a) gør rede for at niveaukurven svarende til f(x,y)=t er en ellipse

b) vis at f har minimum i centrum af denne ellipse

"Det oplyses, at denne minimumsværdi er t"MIN" = -50

c) gør rede for at værdien af konstanden k er givet ved k = 850

d) minimer f under bibetingelsen y

bare lidt hints så skulle jeg gerne kunne, tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Hvor langt er du kommet?

Svar #2
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

ved nulpunktet, jeg skal lige startes manuelt :-)

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. april 2004 af riquelme (Slettet)

ad a) her skal du vel bare sætte f(x,y)=t og genkende ligningen for en ellipse

ad b) find først centrum (evt. en omskrivning af forskriften).. hvis et punkt er et minimumspunkt er begge de partielle afledede = 0 i dette punkt (undersøg dette).. dernæst skal du undersøge om det nu også er et minimum (det kunne også være et maksimum/saddelpunkt), hvilket kan gøres på flere måder (kan ikke pt. huske én ;)

Svar #4
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

mine ellipser plejer bare at hedde fx:

(x-4)² + (y-2)² = 0

derfor fatter jeg ikke forskriften:

9x²-180x+4y²+k

:-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. april 2004 af riquelme (Slettet)

det er en ret underlig ellipse du opskriver dér.. det er en ligning for punktet (4,2) ;)

kan ikke huske ligningen for en ellipse, men en cirkel har en ligning på formen (x-a)² + (y-b)² = r² (som minder om det du skriver)

Svar #6
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

(x-4)²/a + (y-2)²/b = 1

sorry nu må jeg tage mig sammen

Svar #7
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

## 3-5

kan stadigvæk ikke forstår b)

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. april 2004 af riquelme (Slettet)

jeg formoder du kender til partielle afledede?.. første skridt er at vise, at de partielle afledede mht. både x og y er =0 i centrum af ellipsen.. hvis dette er tilfældet ved du, at punktet enten er et minimum/maksimum/saddelpunkt... om det så er det ene eller det andet kan du undersøge ved en metode jeg ikke kan huske (noget med en Hesse-matrix hvis det siger dig noget)

Svar #9
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

det siger mig intet og jeg kender ikke til partielle afledede, jf derive er der vidst centrum i (0,10)

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. april 2004 af riquelme (Slettet)

ok.. det er den generelle metode, når man skal finde minima/maksima for funktioner i flere variable.. der er måske en speciel metode, der kan anvendes i det her tilfælde, men jeg kender den desværre ikke..

Svar #11
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

opgaven:

http://www.fededorit.dk/Matematik/opg6.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. april 2004 af Brian (Slettet)

Cas_sen, har jeg ikke engang sendt dig en mail angående en tilsvarende opgave? Jeg er sikker på at der vil være inspiration at hente her ;-)

Svar #13
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

jeg er altså ked af at sige det ikke kan være mig du har sendt en sådan mail til, og hvis det i så fald skulle være, så har jeg aldrig modtaget den :-) men vil stadig gerne have hjælp at hente

Svar #14
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

utroligt som det kan drille

Svar #15
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

spørg lige en sidste desparat gang inden jeg sætter opgaven sammen, kan nogen hjælpe med ovennævnte :-)

Svar #16
14. april 2004 af Cas_sen (Slettet)

bitte

Brugbart svar (0)

Svar #17
14. april 2004 af Brian (Slettet)

Har lige været borte på besøg, derfor det sene svar. Nej, du har ret, jeg har ikke sendt dig noget, men jeg HAR diskuteret noget lignende her før, og jeg er ret sikker på, at det var dig, p.g.a. fededorit, det er da til at huske. Det var også en ellipse, der var niveaukurver for prisen på kombinationer af nogle varer. Diskussionen endte med at, da varerne kun kunne fås i hele antal, så var det lidt misvisende differentiere og den slags, fordi man fik nogle ikke-hele tal som løsning... Huh?

Det er rigtigt, at ellpser kan beskrives ved

(x-x0)²/a + (y-y0)²/b = 1

hvor (x0, y0) er centrum, og a og b akserne i hhv. x-retning og y-retning.

Så du skal "bare" omforme på dit udtryk, så dette kommer til at passe:

Niveaukurven for f er givet ved at f(x,y) = c, en konstant, så din ligning bliver til

9x²-180x+4y²+k = c

træk 9 udenfor en parentes og flyt k over:

9(x²-20x) + 4y² = c-k

Hvis 20x er det dobbelte produkt, må må 1 gange produktet var 10x, altså er det tallet 10 vi skal have fat i:

x²-20x = x² - 20x + 10² - 10² =
(x - 10)² - 100,

altså:

9( (x - 10)² - 100 ) + 4y² = c-k

Flyt de 9 gange 100 over:

9( (x - 10)² ) + 4y² = c-k+900

Opfat 9 og 4 som divisioner med 1/9 og 1/4:

((x - 10)²)/(1/9) + y²/(1/4) = c-k+900

Divider til slut med (c-k+900)

((x - 10)²)/((c-k+900)/9) + (y-0)²/((c-k+900)/4) = 1

Ligningen er nu omformet til den ønskede form, og det aflæses, at

centrum ligger i (10, 0) og at "radius" i x-retningen er ((c-k+900)/9) og at rdius i y-retningen er ((c-k+900)/4)

M.h.t. b) uden brug af partielle afledede: lav en næsten lignende udledning som den oven over og få, at

f(x, y) = 9((x - 10)²) - 900 + 4(y-0)² + k

Du kan så argumentere med, at jo længere væk (x, y) kommer fra (10, 0) jo større bliver (x - 10)² og (y-0)², d.v.s. f kan umulig blive mindre end den bliver i netop (x, y) = (10, 0)

M.h.t. c) så sæt centrumspunktet ind, så er der en masse der giver 0, juster på k så det passer med at c = -50 ovenfor.

I d) tegn linien, find ud af hvlken side af linien der er den lovlige. Minimum kommer nok til at ligge på linien, parametriser derfor evt. linien, sæt ind i f, differentier og løs. I d) skal du nok bruge k = 850.

Skriv et svar til: Mat: minimering via ellipsekurve

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.