Matematik

Keglestub

11. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

V = 1/3 * pi*h *(R^2 + r^2 +Rr)

Jeg har bevist den via integralregning, men kan den bevises på en anden måde`?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2007 af filleellif (Slettet)

#0

Hvorfor skal du bruge det? Det er da smart og ligetil at udnytte integralregning!

Svar #2
11. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvad?

Svar #3
11. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Altså at rotere det om y-aksen..

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. juni 2007 af sveegaard (Slettet)

Interessant at du roterer om y-aksen, for jeg ville umiddelbart rotere den om x-aksen... :)

Svar #5
11. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#4 Det gør ikke nogen forskel :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Jeg tror du kan komme igennem med følgende oplysninger. Hvis du integrerer (mellem grænserne) 2*pi*h(x)*dx (det differentielle kon-stykke), og bruger dit udtryk for V, men det er kun fra "huskeren" jeg har det, h er naturligvis 2. aksen.
Men jeg vil prøve at undersøge det nærmere, når jeg får lidt bedre tid, måake har du så løst det i mellemtiden. Jeg har brugt h-aksen som rotationsaks, men det er jo ligegyldigt, hvilken vej vi vender den, som du siger.

Svar #7
11. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Jamen jeg har skam løst det :)
Jeg spurgte bare om der var en anderledes måde at udlede den på.

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

her:
http://www.mph.net/coelsner/calcapps/cone_ex.htm

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

En anden måde at udregne pyramidestubben på:
Det går på, at benytte Cavalieri’s princip. Hvis du placerer et prisme og en cylinder med samme basis og højde mellem to parallelle planer, så vil de korresponderende tværsnit have samme areal, fordi alle parallelle tværsnit af cylinderen og de korresponderende af prismet er kongruente. De to figurer (legemer) har samme volumen. Volumen af cylinderen er V=G*H, og eftersom basen er en cirkel fås G=pi*r^2, så V=pi*r^2*h.
Hvis du nu skærer konussen parallel til dens base vil alle arealer være cirkler. Eftersom alle arealer er ligedannede, så vil deres arealer vil være i samme forhold som deres radier. Hvis du skærer keglen i en eller ande højde, så vil r1/r2 = h1/h2, det vil sige, at basen af de to kegler tilfredsstiller forholdet:
G1:G2 = (h1)^2*(h2)^2, hvor G1 er den lille base og G2 den store base i pyramiden
I pyramiden og keglen med samme base og højde vil korresponderende tværsnit have samme areal, og ifølge Cavalier’s princip har de samme rumfang, så volumet af keglen er V = pi*r^2*h/3
Vi får nu G1/G2 = (h+x)^2/x^2, og da G1^1/2/G2^1/2 = (h+x)/x så er V = 1/3*((G1h+(G1-G2)*(G1)^1/2*(G1^2-G2^1/2)^-1/2)*h, og da G1-G2=(G1^1/2+G2^1/2)*(G1^1/2-G2^1/2), så får vi til sidst: V=1/3h*(G1+(G1G2)^1/2+G2).
Det samme princip kan du bruge på keglestubben, du skal komme frem til at
V=1/3*pi*h*(r1^2+r1r2+r2^2), som du fandt frem til ved at integrere.

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Endelig kan du jo også bruge Arkimedes princip.

Brugbart svar (0)

Svar #11
12. juni 2007 af mathon

eller

se
http://www.peecee.dk/index.php?id=51856

Brugbart svar (0)

Svar #12
12. juni 2007 af mathon

ensrettede trekanter --> ensvinklede trekanter

Skriv et svar til: Keglestub

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.