Division

et tal er deleligt med 11, hvis summen af dets cifre med skiftevis positivt og negativt fortegn kan deles med 11. (Eks. 182919 er deleligt med 11 fordi 1-8+2-9+1-9 = -22 er deleligt med 11)

Og så var der beviset, det kigger jeg på

Du kan se det her:
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml

Vi skal nu se om et tal deleligt med 11.
Det vi skal være opmærksomme på er 11 gangen og nabotallene til 11. 10 er nabotal til 11.

a)Man starter med at lave en induktiv undersøgelse af tal som er delelig med 11. Dvs. du tager 11 gangen. Altså 1*11, 2*11, 3*11 osv. Vi kan sige når f.eks. 9*11=99 så må 99 være deleligt med 11, hvilket er 9
99/11=9.

b)Undersøgelse to. 9 er nabotal til 1o. Dvs. 9 må går op i tal af formen 10^n-1, fordi cifrene af disse tal består af niere. Vores undersøgelse skal nu vise om 11 går op i tal af formen 10^n+1.
et eks.: vi finder ud af at 11 går ikke op i 10^2+1, men går op i 10^2-1 hvilket er 99. Undersøg om du kan generalisere denne regel.

c)Vi indersøger nu et konret tal.
3927 som vi skriver¨på et udviklet form i titalssystemet.
3927=3*10^3+9*10^2+2*10^1+7
3927=3(10^3+1)+9(10^2-1)+2(10+1)+7-2+9-3

Læg mærke til at vi hver anden gang lægger og trækker 1 fra tallets ciffre. Ved enere lægger vi altid til.

Læg mærke til tal udenfor parentes og som skrives uden brug af potens, og som ikke skal ganges med 10. Altså tal som ikke skrives af formen x(10^n).

Det er 7-2+9-3 hvliket giver 11. (Overvej om det er tilfældigt at tallet optræder "spejlvendt"?) Ergo tallet 3927 er deleligt med 11. 3927/11=357

Metoden vikrer kompliceret men det er bare et spørgsmål om øvelse, og det er absolut ikke svært hvis man har arbejdet med et tals faktorisering.

Håber du får noget ud af det.


//DeciMat

#1
Af formuleringeg fermgår "summen af dets cifre med skiftevis positivt og negativt fortegn" hvilket kan få vedkommende til at gøre følgende. 182919
-1+8-2+9-1+9. Derfor mener jeg at forklaringen i #3
3927=3(10^3+1)+9(10^2-1)+2(10+1)+7-2+9-3 er korrekt samtidig med at det ikke kan misforstås.
Og der er også en mening med "spejlvendt" da der spørges om "alternating sum of the digits".

Tanken er at den studerende skal også have lov til at arbejde og have nogle "aha oplevelser" istedet for bare få resultatet oplyst.

Siden de henviser mht. beviset er rigtig god men jeg synes nu er alt for svær, da den kræver en god portion kendskab til matematik.

//DeciMat

Det nemmeste er som antydet ovenfor at benytte sig af følgene to forhold

a) Tallet 1 plus 10 i en ulige (positiv) potens er deleligt med 11.

b) Tallet -1 plus 10 i en lige (positiv) potens er deleligt med 11.

og dernæst lade sig inspirere af decimalfremstilligen af et eksempel på et tal deleligt med 11:

59378 = 5(9999+1) + 9(999+1) + 3(99+1) + 7(9+1) + 8 (*)

Som det fremgår af regel (b) er et tal bestående af et ulige antal 9-taller ikke deleligt med 11. Disse led i (*) erstattes derfor ved at bringe regelen b i anvendelse som

59378 = 5(9999+1) + 9(1001-1) + 3(99+1) + 7(11-1) + 8

= 5(9999) + 5 + 9(1001) - 9 + 3(99) + 3 + 7(11) - 7 + 8

og samtlige paranteser er delelige med 11 jvf. ovenstående regler. Altså er 59738 deleligt med 11 såfremt den alternerende ciffersum 5-9+3-7+8 er.

Håndvifteriet omsættes til et formelt bevis ved at omsætte reglerne til udtrykkene

10^(2n+1) + 1 = 11*(1 + \sum_{0}^{n-1}9*10^(2i+1))

10^(2n) - 1 = 11*(\sum_{i=0}^{n-1}9*10^(2i))

og dernæst indsætte disse udtryk i decimalfremstillingen for et arbitrært tal på formen

a_n*10^n + a_{n-1}*10^(n-1) + ... + a_0

Iøvrigt kan du google dig til en masse af de beviser du søger. Hvis du f.eks. googler på søgestrengen

alternating divisibility by 11

er linket refereret i #1 første hit.