Matematik
Vektorer
13. maj 2004 af
PONY (Slettet)
Der er opgivet en figur som forestiller en trekant: ABC
A og B ligger på bunden mens C er i toppen.
Punkktet M deler A og B på midten.
Man skal så finde koordinatsættet til et pkt. S inde i trekanten. Punktet S ligger i forlængelse af C og AB`s midtpunkt M.
Der står så som et hint, at medianernes skæringspunkt S deler medianerne i forholdet 1:2 regnet fra siden, så
vektoren MS = 1/3 MC
Det er dette som jeg ikke forstår. Hvordan kan man vide at MS er ligemed 1/3 MC, på grundlag af medianerne. Medianerne ligger mellem A og C, & B og c.
Håber mit spørgsmål er forståeligt....
A og B ligger på bunden mens C er i toppen.
Punkktet M deler A og B på midten.
Man skal så finde koordinatsættet til et pkt. S inde i trekanten. Punktet S ligger i forlængelse af C og AB`s midtpunkt M.
Der står så som et hint, at medianernes skæringspunkt S deler medianerne i forholdet 1:2 regnet fra siden, så
vektoren MS = 1/3 MC
Det er dette som jeg ikke forstår. Hvordan kan man vide at MS er ligemed 1/3 MC, på grundlag af medianerne. Medianerne ligger mellem A og C, & B og c.
Håber mit spørgsmål er forståeligt....
Svar #1
13. maj 2004 af hippo (Slettet)
Fordi det er tp af trekanten.
Prøv at tegne nogle trekanter op, så vil du se, at MS=MC/3 uanset forholdet mellem AB og AC&BC
Hippo hilsner
Prøv at tegne nogle trekanter op, så vil du se, at MS=MC/3 uanset forholdet mellem AB og AC&BC
Hippo hilsner
Svar #2
13. maj 2004 af Brian (Slettet)
Jeg skal prøve at overbevise dig om hintets påstand. Det går i to skridt, først en hjælpesætning og derefter selve sætningen. Jeg kører klassisk geometri, d.v.s. uden koordinatsystem. Du bør bruge blankt papir.
Jeg forudsætter, at du vil acceptere, at
(0) forholdene mellem ensliggende sider i ligedannede trekanter er ens.
Hjælpesætningen siger: Tegn to parallelle linier, m og n (f.eks. omtrent lodrette), og et punkt P, der ligger på samme side af dem (f.eks. venstre), og tegn også to vilkårlige linier a og b, der begge går gennem P, og som skærer m og n. Det giver 4 skæringspunkter, kald dem for Am, An, Bm og Bm, hvor Am er skæringen mellem a og n o.s.v. Så gælder følgende forhold
(1.1) |P Am|/|P An| = |P Bm|/|P Bn|
(1.2) |P Am|/|P Bm| = |P An|/|P Bn|
BEVIS: Se på de to trekanter (P Am Bm) og (P An Bn). P.g.a. parallelliteten af m og n er disse trekanter ensvinklede, d.v.s. ligedannede. P.g.a (0) følger af forholdene mellem siderne er ens, hvilket giver (1.1). (1.2) følger fra (1.1) ved at gange igennem med |P Bm| og dividere med |P Bm|. (Bevis slut).
Herefter til sætningen:
Tegn en trekant ABC. (Tegn evt. så AB er vandret, så A ligger til venstre for B og så C ligger over AB). Afsæt sidernes midtpunkter Ma, Mb og Mc, så Ma står over for hjørnet A, d.v.s. ligger på BC, o.s.v. Træk de to medianer A Ma og C Mc. Kald deres skæringspunkt for S.
Påstanden er nu, at |S Ma| = 2*|A S|.
BEVIS: Afsæt to nye punkter F og G, så F er midtpunkt mellem A og Mc og G er midtpunkt mellem Mc pg B; altså så punkterne F, Mc, G deler AB op i kvarte.
Tegn til sidst de to linier m og n, som går gennem F og G og som er parallelle med C Mc.
P.g.a. konstruktionen er |AF| = |F Mc| = |Mc G| = |G B|. D.v.s. forholdene mellem disse liniestykker er 1:1.
Da n og m begge er parallel med Mc C er de også indbyrdes parallelle.
Det følger nu af (1.1) (med A i rollen som P), at de tre parallelle linier deler A Ma op i tre ligestore stykker. Dermed bliver |AS| to gange så stor som |SMa|, fordi dette jo gælder for |A Mc| i forhold til |Mc G|. Og det var hvad du spurgte om.
Jeg forudsætter, at du vil acceptere, at
(0) forholdene mellem ensliggende sider i ligedannede trekanter er ens.
Hjælpesætningen siger: Tegn to parallelle linier, m og n (f.eks. omtrent lodrette), og et punkt P, der ligger på samme side af dem (f.eks. venstre), og tegn også to vilkårlige linier a og b, der begge går gennem P, og som skærer m og n. Det giver 4 skæringspunkter, kald dem for Am, An, Bm og Bm, hvor Am er skæringen mellem a og n o.s.v. Så gælder følgende forhold
(1.1) |P Am|/|P An| = |P Bm|/|P Bn|
(1.2) |P Am|/|P Bm| = |P An|/|P Bn|
BEVIS: Se på de to trekanter (P Am Bm) og (P An Bn). P.g.a. parallelliteten af m og n er disse trekanter ensvinklede, d.v.s. ligedannede. P.g.a (0) følger af forholdene mellem siderne er ens, hvilket giver (1.1). (1.2) følger fra (1.1) ved at gange igennem med |P Bm| og dividere med |P Bm|. (Bevis slut).
Herefter til sætningen:
Tegn en trekant ABC. (Tegn evt. så AB er vandret, så A ligger til venstre for B og så C ligger over AB). Afsæt sidernes midtpunkter Ma, Mb og Mc, så Ma står over for hjørnet A, d.v.s. ligger på BC, o.s.v. Træk de to medianer A Ma og C Mc. Kald deres skæringspunkt for S.
Påstanden er nu, at |S Ma| = 2*|A S|.
BEVIS: Afsæt to nye punkter F og G, så F er midtpunkt mellem A og Mc og G er midtpunkt mellem Mc pg B; altså så punkterne F, Mc, G deler AB op i kvarte.
Tegn til sidst de to linier m og n, som går gennem F og G og som er parallelle med C Mc.
P.g.a. konstruktionen er |AF| = |F Mc| = |Mc G| = |G B|. D.v.s. forholdene mellem disse liniestykker er 1:1.
Da n og m begge er parallel med Mc C er de også indbyrdes parallelle.
Det følger nu af (1.1) (med A i rollen som P), at de tre parallelle linier deler A Ma op i tre ligestore stykker. Dermed bliver |AS| to gange så stor som |SMa|, fordi dette jo gælder for |A Mc| i forhold til |Mc G|. Og det var hvad du spurgte om.
Skriv et svar til: Vektorer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.