Matematik
total differentiation
Så lad z = f(x,y) right.
Spørgsmålet er nu følgende:
Vi har to punkter. Dermed er der en ændring fra det ene punkt til det andet punkt:
delta z og dz kan nemt beregnes.
Jeg påstår, at den numeriske værdi af delta z altid er højere end den numeriske værdi af dz! Er det ikke rigtig?
Svar #1
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Svar #2
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Svar #3
28. september 2007 af Madsst (Slettet)
Svar #4
28. september 2007 af peter lind
Svar #5
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Svar #6
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
deltaz = f(x2,y2) - f(x1,y1)
mens dz giver det totale differentiale som jeg har skrevet ovenfor.
Svar #7
28. september 2007 af Erik Morsing (Slettet)
Svar #8
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Mener du ikke også, at min påstand er korrekt?
Svar #9
28. september 2007 af Erik Morsing (Slettet)
dz=df=(dz/dx1)dx1+(dz/dx2)dx2+...+(dz/dxn)dxn.
Så sammenligner vi df med dellat f, så får vi (efter lidt regning):
fejlmarginen: (delta f -df)/sqr(dx1^2+dx2^2+...+dxn^2)) men den går mod 0 når dxi'erne går mod 0.
Svar #10
28. september 2007 af Erik Morsing (Slettet)
Svar #11
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Svar #12
28. september 2007 af Erik Morsing (Slettet)
Svar #14
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Svar #15
28. september 2007 af sheaf (Slettet)
Den ydre differentiation df af en C¹-funktion f er en 1-form (eller differentialform af første grad om man vil) hvilket i det almindelige tilfælde betyder, at evalueret i et bestemt punkt p er df(p) en lineær funktional, d.v.s. en funktion hvis argumenter er funktioner. Med andre ord igen: en differentialform af første grad er et tensorfelt hvis værdi i ethvert punkt er en alternerende covariant tensor med rang 1. Derfor giver det ingen mening at sammenligne værdien af en differentalform i et punkt med en funktionsdifference.
Et eksempel i tråd med dit spørgsmål:
Lad f:A->R være givet ved (x,y) |-> x^y hvor A = {(x,y) E R²|x>0} Så er
df = yx^(y-1)dx + x^y*log(x)dy
hvis værdi i punktet p(2,2) er
df(p) = 4dx + 4log(2)dy
Som man ser er df(p) ikke et tal sammenligneligt med f.eks. funktionstilvæksten mellem 2 punkter. Udtrykkene dx og dy dækker selv over funktioner, nemlig de linearformer dx:R²->R, dy:R²->R som tilforordner en vektor (a_1,a_2) E R² henholdsvis sin første og anden koordinat. Funktionen df(p) - differentialet af f evalueret i p - er en funktion, df(p):R²->R der spiser vektorer og spytter reelle tal ud. F.eks. er
df(2)[(1,2)] = 4*1 + 4log(2)*2
Det giver derfor ikke mening at sammenligne df evalueret i et punkt med differencen mellem funktionsværdier evalueret i 2 punkter.
Svar #16
28. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
for eksempel
f(x,y) = z = x^2 +y
Der er et punkt A(1,2) og B(3,4) ikke.. så beregner vi dz og delta z, og jeg siger at dz altid er numerisk mindre end numerisk delta z.
Er det ikke korrekt?
Svar #17
29. september 2007 af sheaf (Slettet)
Svar #18
29. september 2007 af math-freak++ (Slettet)
Svar #19
29. september 2007 af Erik Morsing (Slettet)
Perioden af et simpelt pendul er givet ved T(L,g)=2*pi*sqr(L/g), her tænker vi os tyngdeaccelerationen foretaget i forskellige højder. Differentialet (efter den forskrift, jeg gav i #9 giver: dT=(dT/dL)dL+(dT/dg)dg=(2*pi)/(2**sqr(L*g) * dL - (2*pi*sqr(L)/2*g^(1,5) * dg. Antager vi nu, at længden af pendulet øges med x(%) og accelerationen med y(%), så kan vi sætte værdierne ind og udregne den differentielle tidsændring dT. Prøv selv at sætte ind med for eksempel x=1% og y=0,5%.
Jeg tror, du skal holde dig til de forklaringer, der er givet og ikke blande tingene sammen.
Svar #20
29. september 2007 af sheaf (Slettet)
|df(x0,h)| < |f(x0+h)-f(x0)|
Taylors formel med udviklingsorden 2 er
f(x0+h)-f(x0) = df(x0,h) + ½d²f(x0+th,h)
hvor t E ]0,1[. Prøv nu at lege lidt med trekantsuligheden og se hvilke restriktioner din påstand indebærer for det andet differential og vurder om det kan tænkes at gælde for en vilkårlig C²(A)-funktion f:A->R.