Matematik
Lineær uafhængihed
05. november 2007 af
kuerten15
Jeg har følgende vektorer i rummet:
a=(t,t,1) , b=(2,1,t) , c=a x b (dvs vektorproduktet/krydsproduktet).
Jeg har bestemt c til:
c=a x b = (t^2-1,2-t^2,-t)
Jeg skal herefter udregne rumproduktet [a,b,c] for ethvert t og vise, vektorsættet (a,b,c) er et lineært uafhængigt sæt for ethvert t.
Rumproduktet fås til:
[a,b,c]=c* (a x b) = c * c= c^2
c^2=(t^2-1)^2 + (2-t^2)^2 + (-t)^2 = 2t^4-5t^2+5
Men jeg kan bare ikke finde ud af den anden del af opgaven, hvor jeg skal vise, at vektorsættet (a,b,c) er et lineært uafhængigt sæt for ethvert t.
Hvis vektorsættet (a,b,c) skal være lineært uafhængige, kan nulvektoren ikke fremstilles som en egentlig linearkombination.
Det forstår jeg ikke. Hvordan fremstilles en linearkombination? Og hvordan kommer man videre i opgaven?
a=(t,t,1) , b=(2,1,t) , c=a x b (dvs vektorproduktet/krydsproduktet).
Jeg har bestemt c til:
c=a x b = (t^2-1,2-t^2,-t)
Jeg skal herefter udregne rumproduktet [a,b,c] for ethvert t og vise, vektorsættet (a,b,c) er et lineært uafhængigt sæt for ethvert t.
Rumproduktet fås til:
[a,b,c]=c* (a x b) = c * c= c^2
c^2=(t^2-1)^2 + (2-t^2)^2 + (-t)^2 = 2t^4-5t^2+5
Men jeg kan bare ikke finde ud af den anden del af opgaven, hvor jeg skal vise, at vektorsættet (a,b,c) er et lineært uafhængigt sæt for ethvert t.
Hvis vektorsættet (a,b,c) skal være lineært uafhængige, kan nulvektoren ikke fremstilles som en egentlig linearkombination.
Det forstår jeg ikke. Hvordan fremstilles en linearkombination? Og hvordan kommer man videre i opgaven?
Svar #1
05. november 2007 af sheaf (Slettet)
I R^3 er sættet (a,b,c) lineært afhængigt såfremt vektorerne ligger i samme plan, fordi så kan enhver af dem udtrykkes som en linearkombination af de andre. Men så vil enhver af de tre vektorer være ortogonal på krydsproduktet af de to andre, hvorfor rumproduktet er nul. Omvendt er rumproduktet nul hviss een af vektorerne er ortogonal på krydsproduktet af de to andre, hviss de alle ligger i samme plan (underrum af R^3), hviss (a,b,c) er lineært afhængige.
Vektorerne er derfor lineært afhængige hviss rumproduktet er nul. De er lineært uafhængige hviss rumproduktet er forskelligt fra nul.
At nulvektoren ikke kan fremstilles som en egentlig linearkobination betyder, at ligningen
k1*a + k2*b + k3*c = 0, k1,k2,k3 E R
kun har nulløsningen (k1,k2,k3) = (0,0,0).
Jeg har ikke checket dine udregninger.
Vektorerne er derfor lineært afhængige hviss rumproduktet er nul. De er lineært uafhængige hviss rumproduktet er forskelligt fra nul.
At nulvektoren ikke kan fremstilles som en egentlig linearkobination betyder, at ligningen
k1*a + k2*b + k3*c = 0, k1,k2,k3 E R
kun har nulløsningen (k1,k2,k3) = (0,0,0).
Jeg har ikke checket dine udregninger.
Skriv et svar til: Lineær uafhængihed
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.