Matematik
Kompleks polynomium
18. november 2007 af
stræber-pigen (Slettet)
Idet a,b tilhører C er givne, betragtes ligningen z^4+az^3+bz^2+az+1=0.
a) Bevis, at et komplekst tal z opfylder ligningen, hvis og kun hvis er rod i ligningent^2 +at+(b-2) . (NB: Findes z^-1 forresten?)
b) Find samtlige komplekse løsninger til i det tilfælde, hvor a = -1 -2^0,5 og b=2+2^0,5.
a) Bevis, at et komplekst tal z opfylder ligningen, hvis og kun hvis er rod i ligningent^2 +at+(b-2) . (NB: Findes z^-1 forresten?)
b) Find samtlige komplekse løsninger til i det tilfælde, hvor a = -1 -2^0,5 og b=2+2^0,5.
Svar #1
18. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
a)
Da z=0 tydeligvis ikke løser ligningen, findes z^(-1) for alle løsninger til ligningen, hvorfor det giver mening at se på hintet:
Hvis du indsætter z+z^(-1) på t's plads i ligningen og regner ud, så får du dit oprindelige polynomium - blot divideret igennem med z^2. Men polynomiet divideret med z^2 - for et z forskellig fra nul - giver nul, så gør det det også, når man ganger med z^2 igen.
Dermed burde a være løst!
b)
Denne del løses blot vha. formlen for nulpunkter i andengradspolynomier, der som bekendt også formår at spytte komplekse tal ud, idet kvadratrødder af negative tal giver noget med i.
Ved at finde rødder i hjælpepolynomiet, finder man to løsninger for t = z + z^(-1), dvs. z + z^(-1) = t1 og z + z^(-1) = t2. I begge tilfælde kan man gange igennem med z og derved opnå ligningerne z^2 + 1 = t1 hhv. z^2 + 1 = t2, som igen løses som andengradspolynomier.
Da z=0 tydeligvis ikke løser ligningen, findes z^(-1) for alle løsninger til ligningen, hvorfor det giver mening at se på hintet:
Hvis du indsætter z+z^(-1) på t's plads i ligningen og regner ud, så får du dit oprindelige polynomium - blot divideret igennem med z^2. Men polynomiet divideret med z^2 - for et z forskellig fra nul - giver nul, så gør det det også, når man ganger med z^2 igen.
Dermed burde a være løst!
b)
Denne del løses blot vha. formlen for nulpunkter i andengradspolynomier, der som bekendt også formår at spytte komplekse tal ud, idet kvadratrødder af negative tal giver noget med i.
Ved at finde rødder i hjælpepolynomiet, finder man to løsninger for t = z + z^(-1), dvs. z + z^(-1) = t1 og z + z^(-1) = t2. I begge tilfælde kan man gange igennem med z og derved opnå ligningerne z^2 + 1 = t1 hhv. z^2 + 1 = t2, som igen løses som andengradspolynomier.
Svar #2
18. november 2007 af stræber-pigen (Slettet)
Tak!
b) Find samtlige komplekse løsninger til i det tilfælde, hvor a = -1 -2^0,5 og b=2+2^0,5. Det skal henvises til første polynomium af 4. grad. hvordan gøres det?
b) Find samtlige komplekse løsninger til i det tilfælde, hvor a = -1 -2^0,5 og b=2+2^0,5. Det skal henvises til første polynomium af 4. grad. hvordan gøres det?
Skriv et svar til: Kompleks polynomium
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.