Matematik
Hjælp til skæringspunktet mellem en hyperpel og ret linje
20. november 2007 af
Chrris (Slettet)
Jeg er meget svag til matematik, men eftersom jeg har en aflevering til på fredag har jeg virkerlig strengt brug for jeres hjælp (skær det venligst ud i pap).
Hvis der bare nogen med nogle gode og hjælpsomme eksempler ville jeg blive lykkelig.
Min opgave lyder :
Det oplyses at hyperblen går igennem punktet (2,1) og den rette linje går i gennem punktet (1,3)
beregn skæringspunkterne mellem linjen og hyperblen.
pft.
Hvis der bare nogen med nogle gode og hjælpsomme eksempler ville jeg blive lykkelig.
Min opgave lyder :
Det oplyses at hyperblen går igennem punktet (2,1) og den rette linje går i gennem punktet (1,3)
beregn skæringspunkterne mellem linjen og hyperblen.
pft.
Svar #1
21. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Hyperblen er givet ved forskriften y = a/x, og da du kender punktet (2,1) på hyperblen, kan du finde a og dermed forskriften, da
y = a/x
<=>
a = y*x
Dvs. at a = y*x = 1*2 = 2.
Linjen kan du derimod intet stille op med, for man skal enten kende to punkter eller ét punkt og en hældning før man kan finde forskriften for en linje. Men lad os nu sige, du har fået oplyst, at linjen også går gennem (2,21):
Så siger man (x1,y1) = (1,3) og (x2,y2) = (2,6) og indsætter i formlen for a og b til linjens ligning:
a = (y2-y1)/(x2-x1) = (7-3)/(2-1) = 4
og
b = y1 - ax1 = 3 - 4*1 = -1
Så har linjen forskriften y = ax + b, dvs, y = 4x - 1.
Nu kan jeg give et eksempel på beregning af skæring:
Givet en hyperbel med forskrift y = 2/x og en linje med forskrift y = 4x - 1, så beregnes skæring ved at sætte disse lig hinanden og isolere x:
2/x = 4x - 1
<=> (ganger igennem med x)
2 = x*(4x - 1)
<=> (regner ud)
2 = 4x^2 - x
<=> (indser, at dette giver en andengradsligning, hvorfor jeg samler alt på venstre side)
4x^2 - x - 2 = 0,
Nu skal andengradsligningen blot løses, så får man x-koordinaten til skæringspunktet. Selve skæringspunktet kan nu beregnes vha. en af de to forskrifter - uanset om man vælger linjens eller hyperblens forskrift, får man samme y-værdi, for det er jo deres skæringspunkt!
y = a/x
<=>
a = y*x
Dvs. at a = y*x = 1*2 = 2.
Linjen kan du derimod intet stille op med, for man skal enten kende to punkter eller ét punkt og en hældning før man kan finde forskriften for en linje. Men lad os nu sige, du har fået oplyst, at linjen også går gennem (2,21):
Så siger man (x1,y1) = (1,3) og (x2,y2) = (2,6) og indsætter i formlen for a og b til linjens ligning:
a = (y2-y1)/(x2-x1) = (7-3)/(2-1) = 4
og
b = y1 - ax1 = 3 - 4*1 = -1
Så har linjen forskriften y = ax + b, dvs, y = 4x - 1.
Nu kan jeg give et eksempel på beregning af skæring:
Givet en hyperbel med forskrift y = 2/x og en linje med forskrift y = 4x - 1, så beregnes skæring ved at sætte disse lig hinanden og isolere x:
2/x = 4x - 1
<=> (ganger igennem med x)
2 = x*(4x - 1)
<=> (regner ud)
2 = 4x^2 - x
<=> (indser, at dette giver en andengradsligning, hvorfor jeg samler alt på venstre side)
4x^2 - x - 2 = 0,
Nu skal andengradsligningen blot løses, så får man x-koordinaten til skæringspunktet. Selve skæringspunktet kan nu beregnes vha. en af de to forskrifter - uanset om man vælger linjens eller hyperblens forskrift, får man samme y-værdi, for det er jo deres skæringspunkt!
Svar #2
21. november 2007 af mathon
...eller
y = k/x <=> xy = k og
xy = k, som giver
2*1= k
hvorfor
y = 2/x og x forskellig fra 0
en ret linje y=ax+b og dermed b=y-ax gennem (1,3), dvs.
b=3-a*1 = 3-a, hvoraf
y = ax + (3-a)
fællespunkter kræver:
ax + (3-a) = y = 2/x og x forskellig fra 0
ax + (3-a) = 2/x
ax^2 + (3-a)x = 2 eller
ax^2 + (3-a)x - 2 = 0 hvor d = (3-a)^2 - 4*a*(-2) = a^2+2a+9, som IKKE har rødder
hvorfor:
hvis d<0: dvs a<0 og ax^2 + (3-a)x - 2 = 0 ikke har nogen løsning i R - altså ingen fælles punkter
hvis d>0: dvs a>0 og ax^2 + (3-a)x - 2 = 0 har to løsninger i R - altså to fælles punkter
konklusion:
den i planen rette linje y=ax+b gennem punktet (1,3) har med den i planen ligesidede hyperbel y=k/x gennem punktet (2,1)
hvis a<0 ingen fælles punkter
hvis a>0 to fælles punkter
y = k/x <=> xy = k og
xy = k, som giver
2*1= k
hvorfor
y = 2/x og x forskellig fra 0
en ret linje y=ax+b og dermed b=y-ax gennem (1,3), dvs.
b=3-a*1 = 3-a, hvoraf
y = ax + (3-a)
fællespunkter kræver:
ax + (3-a) = y = 2/x og x forskellig fra 0
ax + (3-a) = 2/x
ax^2 + (3-a)x = 2 eller
ax^2 + (3-a)x - 2 = 0 hvor d = (3-a)^2 - 4*a*(-2) = a^2+2a+9, som IKKE har rødder
hvorfor:
hvis d<0: dvs a<0 og ax^2 + (3-a)x - 2 = 0 ikke har nogen løsning i R - altså ingen fælles punkter
hvis d>0: dvs a>0 og ax^2 + (3-a)x - 2 = 0 har to løsninger i R - altså to fælles punkter
konklusion:
den i planen rette linje y=ax+b gennem punktet (1,3) har med den i planen ligesidede hyperbel y=k/x gennem punktet (2,1)
hvis a<0 ingen fælles punkter
hvis a>0 to fælles punkter
Skriv et svar til: Hjælp til skæringspunktet mellem en hyperpel og ret linje
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.