fatter hat (isolering af x i interval)

En løsning er x=0. Øvrige løsninger kan kun findes med numeriske metoder. prøv med grafisk.

tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))

2tan(x)/(1-tan^2(x)) = (1/2)

4tan(x)/(1-tan^2(x)) = 1

4tan(x) = 1-tan^2(x)

tan^2(x)+4tan(x)-1=0 eller med z = tan(x)

z^2+4z-1=0

z1 = -2-sqr(5) og z2 = -2+sqr(5)

tan(x1) = tan(x1+p*pi) = -2-sqr(5), hvor p er hel
hvoraf
x1 = tan^-1(-2-sqr(5)) = -1,33897
og
x1+1*pi = -1,33897+pi = 1,80262

og

tan(x2) = tan(x2+p*pi) = -2+sqr(5), hvor p er hel
hvoraf
x2 = tan^-1(-2+sqr(5)) = 0,231824
og
x3 = x2+1*pi = 0,231824+pi = 3,37342

konklusion:
x € {0.231824;1.80262;3.37342}

fuldstændiggørelse:

tan(x1) = tan(x1+p*pi) = -2-sqr(5), hvor p er hel
hvoraf
x1 = tan^-1(-2-sqr(5)) = -1,33897
og
x2 = x1+1*pi = -1,33897+pi = 1,80262
x3 = x1+2*pi = -1,33897+2pi = 4,94421, som manglede i #2

og

tan(x4) = tan(x4+p*pi) = -2+sqr(5), hvor p er hel
hvoraf
x4 = tan^-1(-2+sqr(5)) = 0,231824
og
x5 = x4+1*pi = 0,231824+pi = 3,37342

konklusion:
x € {0.231824;1.80262;3.37342;4.94421}

...alternativt

tan(2x) = tan(2(xo+delta_x) = tan(2xo+p*pi), p € Z, da tangens er periodisk med perioden pi.

tan(2xo+2*delta_x) = tan(2xo+p*pi), dvs.

2*delta_x = p*pi

delta_x = p*(pi/2)

tan(2xo) = 0,5

2xo = tan^-1(0,5) = 0.463648
xo = 0.463648/2 = 0.231824

løsninger i intervallet [0;2pi[
x = xo + p*(pi/2) for p € {0,1,2,3}

x = 0.231824+{0,1,2,3}*(pi/2) = {0.231824;1.80262;3.37342;4.94421}