Side 2 - cos(x)^2+sin(x)^2=1 ?

Jeg tror virkelig, at der er noget fundamentalt ved matematikken du ikke helt har fat i eller sådan noget. :)

Hvis du har forstået mig, kan du så sige, hvad det her regnestykke giver:
2 + cos(x)^2 + sin(x)^2 = ?

Prøv lige...

haha, det kan han da slet ikke

det giver 3...
Men jeg tror virkelig alle pånær #19 har misforstået hvad jeg mener, jeg er ikke ligefrem mongol til matematik, og jeg kunne sagtens se enkeltheden i det jeg spurgte om selv før jeg skrev indlæget...
Jeg ville bare høre om nogen af jer kunne et BEVIS for hvorfor den er uafhængig af vinklen, og jeg er virkelig godt klar over at sætningen siger at det en en identitet... Jeg vil bare have at vide hvordan de har fundet frem til dette...
sååh, tak #19 men har du en simplere måde at forklare beviset på, evt mere uddybende.

På forhånd tak.

lol

#23,

Jeg tror ikke, at nogen har misforstået dig. Du ønsker et bevis for, at cos²(x) + sin²(x) = 1. Den simpleste måde er at betragte en retvinklet trekant inde i enhedscirklen, som forklaret i flere andre indlæg. Den retvinklede trekant har hypotenuse af længden 1 og kateter af længden cos(x), hhv. sin(x). Antager vi, at Pythagoras' sætning gælder (og det gør den jo...), så har vi cos²(x) + sin²(x) = 1² = 1. For at overbevise dig om dette, tegn så 1) en enhedscirkel; 2) en linje, der danner vinkelen x med x-aksen, og er radius i cirkelen; 3) tegn en linje lodret ned på x-aksen, og en vandret ind på y-aksen, fra det punkt, hvor den nævnte linje og enhedcirkelen mødes; de linjer træffer akserne i (cos(x),0), hhv. (0,sin(x)).

En anden, men mere regnetung måde, at bevise det ønskede på, er at anvende definitionen af cos(x), hhv. sin(x) (men det kræver dog, at du kender til komplekse tal, og følgelig ved at i² = -1). Vi har cos(x) = [e^(ix)+e^(-ix)]/2 og sin(x) = [e^(ix)-e^(-ix)]/(2i). Lad os starte med at udvikle et udtryk for cos²(x):

cos²(x) = [e^(ix)+e^(-ix)]²/2² = [e^(ix)² + e^(-ix)² + 2*e^(ix)*e^(-ix)]/4 = [e^(2ix) + e^(-2ix) + 2*e^(ix-ix)]/4 = (1/4)*e^(2ix) + (1/4)*e^(-2ix) + 2/4.

Først brugte jeg kvadratsætningen for at komme fra udtryk 2 til udtryk 3. Så brugte jeg potensregneregler for at komme fra udtryk 3 til 4. Til sidst dividerede jeg igennem med 4 i tæller og nævner.

Så går vi videre til sin²(x):

sin²(x) = [e^(ix)-e^(-ix)]²/(2i)² = -[e^(ix)² + e^(-ix)² - 2*e^(ix)*e^(-ix)]/4 = -[e^(2ix) + e^(-2ix) - 2*e^(ix-ix)]/4 = -(1/4)*e^(2ix) - (1/4)*e^(-2ix) + 2/4.

Fremgangsmåden er den samme som før. Nu har jeg dog brugt, at i² = -1 (derfor minusset foran udtryk 3).

Til slut får vi

cos²(x) + sin²(x) = (1/4)*e^(2ix) + (1/4)*e^(-2ix) + 2/4 - (1/4)*e^(2ix) - (1/4)*e^(-2ix) + 2/4 = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1.

Det hjælper måske bare ikke så meget, før man forstår hvorfor: cos(x) = [e^(ix)+e^(-ix)]/2 og sin(x) = [e^(ix)-e^(-ix)]/(2i).. Hvilket jeg i hvert fald ikke umiddelbart gør, da jeg heller aldrig har fået præsenteret dette eksempel før.. :o) Men hvis man gør er det forholdsvist nemt lige at sætte det i anden og regne sig frem til at cos(x)^2+sin(x)^2=1...

#26,

Hvorfor er cos(x) = [e^(ix)+e^(-ix)]/2 og sin(x) = [e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)? Jo, se her.

Vi tager udgangspunkt i sammenhængen mellem den komplekse eksponentialfunktion og de trigonometriske funktioner sinus og cosinus:

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) og
e^(-ix) = cos(x) - i*sin(x).

Lægger vi de to ligninger sammen, får vi

e^(ix) + e^(-ix) = 2*cos(x) <=> cos(x) = [e^(ix)+e^(-ix)]/2.

Trækker vi de to ligninger fra hinanden, får vi

e^(ix) - e^(-ix) = -2i*sin(x) <=> sin(x) = [e^(ix)-e^(-ix)]/(2i).

Derfor er cos(x) = [e^(ix)+e^(-ix)]/2 og sin(x) = [e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) !

For at forstå, hvorfor e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) og e^(-ix) = cos(x) - i*sin(x), kan du se på Taylorrækken for e^(ix), hhv. e^(-ix).

#27,

Der havde sgu sneget sig et minus ind foran 2i*sin(x). Der skal selvfølgelig ikke stå noget minus!

Hmm ja.. Det var egentlig ikke så indviklet som jeg havde forestillet mig ^_^..
Tak for forklaringen :o)