Matematik
Rettelse af en opgave
10. februar 2008 af
piip (Slettet)
Hej. Er der nogen der ville være søde at rette denne matematik opgave for mig? Og skære ned på det jeg har skrevet, så det giver mening? :) På forhånd tak.
Jeg skal bestemme monotoniforholdene for funktionen f, da jeg har en funktion f der er bestemt ved: f (x) = 1/3x3 – 2x2 – 5x
Monotoniforhold siger noget om hvor vores graf er aftagende og voksende for f og x.
f(x)=x^3–2x^2–5x
Denne differentiere jeg. Så får jeg f'(x). f'(x) sætter jeg lig med 0 og finder x-værdierne. Det er de såkaldte toppunkter. f'(x)=0, sådan finder jeg toppunkterne. Til sidst kan jeg så nedskrive mine intervaller. Så skal jeg bare finde ud af, om grafen er aftagende eller voksende i de forskellige intervaller.
Altså: Jeg differentiere f(x). Derefter regner jeg diskriminanten og dermed nulpunkter ud. Når jeg har fundet nulpunkterne, vælger jeg tre x værdier som jeg sætter ind i f'(x) hvorefter jeg så kan se om funktionen er aftagende eller voksende = monotoniforhold.
Men i stedet for ordet "monotoniforholdene" bør jeg tænke monotoniintervaller.
Intervaller er noget med herfra og dertil, adskilt af nogle grænser. Det er med andre ord opgaven at finde de her grænser, som matematisk kaldes ekstrema punkter
Matematisk har vi lært, om end kun svagt erindret, at ekstrema findes, hvor den betragtede funktion har vandret tangent, dvs. hvor
f'(x0) = 0
i det konkrete tilfælde:
f'(x) = 3x^2-4x-5
interessant i denne forbindelse er
f'(xo) = 3xo^2-4xo-5=0 altså
3xo^2-4xo-5=0, som er en 2.gradsligning med
rødderne
xo1 = (2-sqrt(19)/3 = ca. -0,7863 og xo2 = (2+sqrt(19)/3 = ca. 2,1196
grafen for f'(x) = 3x^2-4x-5 er endvidere en grenopalvendende parabel, hvorfor f'(x)<0 MELLEM rødderne.
Som konklusion kan jeg sige:
for x<-0,7863 er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for x=-0,7863 er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for -0,7863<x<2,1196 er f'(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
for x=2,1196 er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for x>2,1196 er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
x=-0,7863 er altså "skellet mellem" at være voksende og aftagende, hvorfor f(x) har lokalt maksimum for x=-0,7863
x=2,1196 er altså "skellet mellem" at være aftagende og voksende, hvorfor f(x) har lokalt minimum for x=2,1196
Jeg skal bestemme monotoniforholdene for funktionen f, da jeg har en funktion f der er bestemt ved: f (x) = 1/3x3 – 2x2 – 5x
Monotoniforhold siger noget om hvor vores graf er aftagende og voksende for f og x.
f(x)=x^3–2x^2–5x
Denne differentiere jeg. Så får jeg f'(x). f'(x) sætter jeg lig med 0 og finder x-værdierne. Det er de såkaldte toppunkter. f'(x)=0, sådan finder jeg toppunkterne. Til sidst kan jeg så nedskrive mine intervaller. Så skal jeg bare finde ud af, om grafen er aftagende eller voksende i de forskellige intervaller.
Altså: Jeg differentiere f(x). Derefter regner jeg diskriminanten og dermed nulpunkter ud. Når jeg har fundet nulpunkterne, vælger jeg tre x værdier som jeg sætter ind i f'(x) hvorefter jeg så kan se om funktionen er aftagende eller voksende = monotoniforhold.
Men i stedet for ordet "monotoniforholdene" bør jeg tænke monotoniintervaller.
Intervaller er noget med herfra og dertil, adskilt af nogle grænser. Det er med andre ord opgaven at finde de her grænser, som matematisk kaldes ekstrema punkter
Matematisk har vi lært, om end kun svagt erindret, at ekstrema findes, hvor den betragtede funktion har vandret tangent, dvs. hvor
f'(x0) = 0
i det konkrete tilfælde:
f'(x) = 3x^2-4x-5
interessant i denne forbindelse er
f'(xo) = 3xo^2-4xo-5=0 altså
3xo^2-4xo-5=0, som er en 2.gradsligning med
rødderne
xo1 = (2-sqrt(19)/3 = ca. -0,7863 og xo2 = (2+sqrt(19)/3 = ca. 2,1196
grafen for f'(x) = 3x^2-4x-5 er endvidere en grenopalvendende parabel, hvorfor f'(x)<0 MELLEM rødderne.
Som konklusion kan jeg sige:
for x<-0,7863 er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for x=-0,7863 er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for -0,7863<x<2,1196 er f'(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
for x=2,1196 er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for x>2,1196 er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
x=-0,7863 er altså "skellet mellem" at være voksende og aftagende, hvorfor f(x) har lokalt maksimum for x=-0,7863
x=2,1196 er altså "skellet mellem" at være aftagende og voksende, hvorfor f(x) har lokalt minimum for x=2,1196
Svar #1
10. februar 2008 af josemaria (Slettet)
"Monotoniforhold siger noget om hvor vores graf er aftagende og voksende for f og x"
-Kun for f.
"Det er de såkaldte toppunkter"
- Er en vendetangent også et toppunkt??
-Kun for f.
"Det er de såkaldte toppunkter"
- Er en vendetangent også et toppunkt??
Svar #3
10. februar 2008 af josemaria (Slettet)
Nope.. Den ligger jo mellem to intervaller, hvor f er aftagende eller voksende både før og efter
Skriv et svar til: Rettelse af en opgave
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.