Matematik

Funktionsanalyse

23. marts 2008 af strangers

Hejsa

Funktionen er givet ved x/x^2+3
Tegn grafen for f(x) og angiv definitionsmængden, værdimængden og monotoniforhold. Beskriv desuden grafen med dine egne ord.

______________

Jg har gjort således:

Først har jeg differentieret grafen og fået:

f'(x)= -(x^2-3)/(x^2+3)^2

Dernæst har jeg løst ligeningen f'(x)=0 og fået:

x1= -sqrt3 og x2= sqrt3

Så har jeg lavet følgende intervaller:

interval 1:]-uendelig;-sqrt3[
interval 2: ]-sqrt3;sqrt3[
interval 3:]sqrt3;+uendelig[

For at undersøge hvorvidt grafen er faldende stigende i ovenstående intervaller har jeg sat værdier ind i f'(x) der lægger i intervallerne. Vi får derved i interval 1:

f'(-1)= 1, derved er den stigende i intervallet interval 1:]-uendelig;-sqrt3[

Interval 2:

f'(1,5)=0,0272 derved er det stigende i interval 2

f'(2) = -0,0204 derved er den faldende i interval 3

Er dette korrekt?

På forhånd tak

Svar #1
23. marts 2008 af strangers

I øvrigt er dm(f) = ]-uendelig;+uendlig[ og vm(f) = ]-uendelig;+uendelig[ (tror jeg...)

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

Funktionen er givet ved x/x^2+3 <- der er vist noget galt her.
Mener du x/(x^2 + 3), for hvis du gør det har du differentieret forkert.

Svar #3
23. marts 2008 af strangers

Jah, det er det jeg mener. Altså x i tælleren og x^2+3 i nævneren (pokker tage dette system:p hehe..)

Men jeg har fået TI interactive til at regne det ud for mig?

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

Hov, det var mig der lige dummede mig. Det er rigtigt differentieret. Du skal dog huske at -sqrt(3) < -1. Derfkr skal du f.eks. bruge f'(-2) når du skal afgøre interval 1. Definitionmængden rigtig, men du skal udnytte at funktionen er kontinuert til at angive værdimængden. Heraf fås at vm(f) = [min værdi af f,max værdi af f]

Håber det kan hjælpe lidt mere. En god idé er at plotte f(x) og f'(x) for at se om dine svar giver mening.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

PS: Undskyld de mange slåfejl, det gik måske lidt for hurtigt :)

Svar #6
23. marts 2008 af strangers

Hehe, det er okay hr:)

Men bascially så har jeg lavet det rigtigt udover min værdimængde?

Jeg har nemlig tegnet funktionerne og kan ikke se, at den er kontinuert, da brøkfuntkionerne tit giver en hyperbel. Når du så siger:

vm(f) = [min værdi af f,max værdi af f]

Mener du så min/max værdi i henhold til dm(f)?

Hehe, beklager de mange spørgsmål, og tak for din hjælp:)

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

Hvis du indsætter f.eks. f(-2), vil du finde ud af at funktionen er aftagende i interval 1. Du har nu, at funktionen:
aftager : stiger : aftager

Da funktionen endvidere er kontinuert må minimum findes på grænsen mellem interval 1 og 2. Med samme tankegang fås, at maksimum findsen på grænsen mellem interval 2 og 3.

Disse grænseovergange er jo netop dem du har fundet som løsning til f'(x) = 0.
Altså fås fmin = f(-sqrt(3)), fmax = f(sqrt(3)). Altså haves at
vm(f) = [fmin, fmax].

En klassisk fejl er dog, at glemme at undersøge endepunkterne på grafen, det viser sig dog, at f(x) -> 0 for x -> +- uendelig.

Defor kan du sige at
vm(f) = [fmin, fmax].

Svar #8
23. marts 2008 af strangers

Et sidste spørgsmål:

Er intervallerne lukkede eller åbne?

Endnu tak:)

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

Åbne for definitionsmængden, idet det er fra ]-inf;inf[
Lukkede for værdimængden, værdierne antages som min og maks.

Svar #10
23. marts 2008 af strangers

#9

Det er jeg klar over. Jeg tænkte på i henhold til de 3 intervaller jeg har "fastlagt"..

Endnu engang tak:)

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

De er allesammen åbne, idet funktionen hverken er voksende eller aftagende i selve punktet.

Svar #12
23. marts 2008 af strangers

Hehe, du må altså virkelig undskylde, men jeg må lige spørge engang til:

På grafen, så er det bare som om, at værdimængden ikke er [fmin;fmax] da den fortsætter. Hvordan kan dette forklares?
Normalt kan man blot aflæse værdimængden jo..

På forhåand endnu engang tak:D

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. marts 2008 af lesodk (Slettet)

værdimængden er de funktionsværdier der antages. De ligger kun mellem grafens minimum og maksimum.

Skriv et svar til: Funktionsanalyse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.