Matematik

Metrik i et krumt rum

30. april 2008 af Søren_B (Slettet)

Metrikken for en kugle i en positivt krumt rum er givet ved

(ds)^2 = (dr)^2 + R^2*sin(r/R)* (d theta)^2,

hvor ds er afstanden mellem to punkter (r, theta) og (r+dr, theta+d theta). R er radius af kuglen.

Mit spørgsmål er: Lad os eksempelvis lege, at der er et punkt A og B, hvor B er i afstanden L fra A. Ergo kan vi vel sætte ds = L (L er målt på overfladen af kuglen).

Hvis vi sætter origo i A, hvad er så afstanden dr? (Bemærk, det er ikke lektier, men blot for at se om jeg har forstået det korrekt).

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. april 2008 af peter lind

ds,dr og dtheta er differentialer, som du ikke bar kan sætte til at være en "afstand". Ellers findes der generelle formler i differentialgeometrien for hvordan man transformere over til et andet koordinatsystem.

Svar #2
30. april 2008 af Søren_B (Slettet)

Hvad er de differentialer for?

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. maj 2008 af peter lind

Du skal også angive ruten i form af en parameterfremstilling for den kurve du vælger. I din metrik skal du angive r(t) og theta(t) samt sætte sætte dette ind i formlen. Koefficienten til differentialerne er i almindelighed heller ikke konstante, hvad din metrik er et eksempel på. Koefficienterne er derfor ikke den samme i punktet A og B.

Din metrik ser rent umiddelbart heller ikke rigtig ud. Normalt vil der indgå 2 vinkler idet radius er konstant (svarende til dr=0).

Svar #4
01. maj 2008 af Søren_B (Slettet)

Den radius du nævner som er konstant - er det radius af den cirkel, der kan tegnes mellem de to punkter vi betragter på sfæren?

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. maj 2008 af peter lind

Jeg tænkrt på radius af kuglen.

Svar #6
01. maj 2008 af Søren_B (Slettet)

R er radius af kuglen - r er da et punkt, hvorfor dr=0? Eller er jeg helt forkert på den?

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. maj 2008 af peter lind

Jeg kan ikke vide hvordan dine variable er defineret, hvorfor jeg også skrev "ser rent imiddelbart heller ikke rigtig ud ". Det normale er at man definere geometrien på en kugle ud fra sfæriske vinkler, således at der ikke indgår direkte nogen længde. Hvis man holder sig på kuglefladen vil man have samme afstand fra centrum hvorfor dr=0.
r er iøvrigt ikke et punkt. Det er en variabel som når du sammen med den anden variabel tilskriver dem værdier angiver du et punkt på kuglen.

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. august 2008 af math-freak++ (Slettet)

tumper

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. august 2008 af Jerslev (Slettet)

#0: dr er ændringen i radius fra dit rums midtpunkt så at sige. Jeg er ikke matematiker, så jeg kan nok ikke sige dette helt korrekt, men den måde jeg tænkte på d-værdierne, da vi arbejdede med metrikker i kosmologi var, at jeg overvejede, hvad der ændres. Hvis begge punkter er på kuglens overflade, så er dr=0, for ændringen i radius imellem de to punkter er 0. Hvis det ene punkt ligger inde i midten af kuglen og det andet ligger på overfladen, så er dr=R, hvor R er krumingsradius for kuglen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. august 2008 af Jerslev (Slettet)

#7: Det er muligt, at jeg husker forkert, men det ligner meget korrekt metrikken for en positiv krum overflade skrevet i polære koordinater.

Skriv et svar til: Metrik i et krumt rum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.