Matematik

Talteoretisk brøk (TP)

12. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Udfordring! Hvem kan løse følgende opgave?

http://peecee.dk/upload/view/118595

(en lille hilsen til grisehønen er på sin plads ved denne lejlighed)

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)

Kan ikke åbne filen !

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. juni 2008 af Sherwood (Slettet)

#1 Fungerer fint med lidt acrobat reader. Er en pdf-fil.

Men jeg kan desværre ikke løse opgaven. :-)

Svar #3
12. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Man kan med fordel se følgende indlæg:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=528262

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Det ser spændende ud:) Mon ikke den kan løses?

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Lige et spørgsmål. Jeg går vel ud fra at x,y,k € N i det øverste spørgsmål også?

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Jo.. Det skrev du sørme også....

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Advarsel: Lad være med at læse nedenstående, hvis du selv vil løse opgaven :)

Til opg. 1

Jeg går ud fra at du kun vil finde k :)
Vi omskriver så x^2-yk*x+y^2+kn = 0
Vi fastsætter k og n.
Vi vil gerne finde parret (x,y) med x>y så x+y er mindst.

Dvs. at ligningen:
t^2-yk*t+y^2+kn = 0
har løsningen t1 = x og t2 = ky-x = (y^2+kn)/x

Fordi vi vil finde parret med mindst x+y, har vi at t1 <= t2 eller t2 = y. Hvis t2 = y er vi færdige, så lad os kigge på t1 <= t2 <=>
x^2 <= y^2+kn <=> (Vi sætter d = |x-y|)
x^2 <= (x-d)^2+kn =x^2+d^2-2xd+kn <=>
0 <= d(d-2x)+kn <=>
d(2x-d) <= kn <=>
|x-y|(x+x-|x-y|) <= kn <=>
(x-y)(x+y) = x^2+y^2 <= kn <=> (Da x>y er |x-y| = x-y)
x^2+y^2 <= n(x^2+y^2)/(xy-n) <=>
1 <= n/(xy-n) <=>
xy-n <= n <=>
xy <= 2n

Da d=|x-y| er størst når x=2n og y=1 har vi vist at d<=|2n-1|<2n altså

d=|x-y|<2n

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Opg. 2

Den er væsentlig nemmere end den første, og kan laves uden kendskab til den første.

xy-n|x^2+y^2 er ensbetydene med at xy-n|x^2+y^2-2(xy-n)

Da x^2+y^2-2(xy-n) = x^2+y^2-2xy+2n = (x-y)^2+2n = 2n+d er opgaven løst.

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Ups der skulle stå 2n+d^2 til sidst :)

For n = 2, skal vi kun kigge på d € {0,1,2,3}

For d = 0:
x^2-2|4 <=> gcd(x^2-2,4) = x^2-2 <=> x=2 => k = 4
For d = 1:
x(x+1)-2|5 <=> gcd(x^2+x-2,5) = x^2+x-2. Ingen løsning
For d = 2:
x(x+2)-2|8 => x(x+2) x Ingen løsning
For d = 3:
x(x+3)-2|13 => x(x+3)-2=13 eller x(x+3)-2=1 => Ingen løsning.

Indsætter n = 3, når jeg har tid:)

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. juni 2008 af DanielPetersen (Slettet)

Det er bare trivielt mohr-matematik. Skal vi ikke se noget med mere substans? :)

Svar #11
12. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#7, #8 og #9

Fint! Dog er der en fejl i #9, da tilfældet d=2 giver, at xy-2|8, hvilket igen betyder, at xy-2 € {1,2,4,8} således at xy € {3,4,6,10}, hvilket netop lykkes for parret (3,1). Det giver k=10.

Svar #12
12. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#10 Siden hvornår er Georg-Mohr-matematik blevet trivielt. Jeg vil ærligt indrømme, at jeg synes det er underholdende - så meget desto mere som at det er sjovt selv at formulere opgaverne ;)

Svar #13
12. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#10 Men hvis du har noget med mere substans, skal du være velkommen! Så kan vi tage et kig på det...

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. juni 2008 af DanielPetersen (Slettet)

talteori, talteori, talteori, talteori....

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. juni 2008 af DanielPetersen (Slettet)

#13 Ja, jeg har svaret i dit andet indlæg. Det er ang. pdf-filer. Alle kan desværre ikke være med til at løse dine opgaver, fordi (som du selv har sagt) man kan ikke åbne dine filer.

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. juni 2008 af DanielPetersen (Slettet)

Men jeg skal have noget søvn. Jeg har spist hvede er derfor kommet totalt ud af min døgnrytme. Alt går galt heraf!

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. juni 2008 af Liv1988 (Slettet)

Nu er jeg blevet lidt nysgerrig. Hvad er det opgaven går ud på? - Jeg forstår desværre hak, hvilket nok er grunden til, at jeg ikke synes det er så interressant :) Er I nogensinde kommet frem til en løsning?

Liv1988

Brugbart svar (0)

Svar #18
13. juni 2008 af Kristoffer Fage (Slettet)

Stadigvæk 9'ende klasse Grisehønen? Må sige at jeg er yderst imponeret :P

Brugbart svar (0)

Svar #19
13. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

#18 Nej nej! Jeg går skam i 1. G :D

DP: Det ligger faktisk over georg mohr niveau synes jeg. Nærmere omkring NMC. (Faktisk er eksemplet med 4ab-1|(4a^2-1)^2 => a=b taget fra IMO sidste år!!)

#17 Vi har brøken (x^2+y^2)/(xy-n) = k. n er fastsat, og vi vil gerne finde ud af hvor mange forskellige værdier k kan antager når x,y,n,k € N. Fx er (x^2+y^2)/(xy-1) = 5 hvis xy-1 går op i x^2+y^2. Løsningen står i #7, #8 og #9 :)

Jeg skrev det godt nok også i den anden tråd, men tror ikke der var nogen der læste det..

Min opgave til jer er:

hvis 1/1-1/2+1/3-1/4+....-1/1334+1/1335 = p/q da er p deleligt med 2003. (Skriv hvis i vil have et hint)

Skriv et svar til: Talteoretisk brøk (TP)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.