Matematik

En fiks opgave

24. marts 2003 af 404error (Slettet)

Her er en hårdere nød end de sædvanlige opgaver til dem, der har for lidt at lave. Bestem samtlige heltallige løsninger til ligningen:

m^n=n^m,

med n forskellig fra m.

Opgaven kan løses på gymnasieniveau, men det langtfra trivielt.

Et par hints: En analytisk løsning vil nok lægge ud med at se på logaritmer. En oplagt, rent algebraisk metode kunne tage udgangspunkt i primfaktoriseringerne for n og m.

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. marts 2003 af Katrine (Slettet)

du keder dig.. Og dem som svarer, de keder sig endnu mere! ;-)

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. marts 2003 af MarieBS (Slettet)

Okay, jeg indrømmer det: Det fangede faktisk min interesse.

Men jeg må give fortabt... Vil du ikke nok fortælle hvordan man løser den?

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. marts 2003 af RE (Slettet)

giv det lige en dag eller to før løsningen skrives. Opgaven skal jo lige op og vende...

til MarieBS: blev der nogensinde fundet en løsning på lagkage-problemet?

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. marts 2003 af SP anonym (Slettet)

Puha, det er en led satan.
Jeg kunne ikke komme længere end -->

Antag n,m hører i det naturlige tal og at n er forskellige fra m.

m^n=n^m <=>
n*log(m)=m*log(n) <=>
n=m*(log(n)/log(m))

Vi bemærker at n~m, dvs. log(n)/log(m) skal specielt tilhører de naturlige tal (eller rationele tal?)
Jeg giver op...

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. marts 2003 af Esmil (Slettet)

AHA! Jeg har den næsten!

m^n = n^m
n*log(m) = m*log(n)
log(m)/m = log(n)/n
1/m*log(m) = 1/n*log(n)
m^(1/m) = n^(1/n)
(Det burde jeg måske have set uden brug af logitaritmer, men hva skidt)

Lad os kalde f(x) = x^(1/x) så f(n) = f(m).
f(x) er ikke defineret for x
f(x) har et toppunkt mellem 2 og 3, og er stigende før og faldende efter.
Altså må m og n ligge på hver sin side af toppunktet.
De eneste heltal før toppunktet er -1, 1 og 2.
f(-1) = -1, men -1 har ingen makker for f(x) bliver aldrig negativ undtaget for f(-1).
f(1) = 1 og f(x) -> 1, for x -> uendeligt, men bliver altså aldrig 1. Derfor har 1 heller ingen makker.
f(2) = 2^½ er derfor det eneste heltal før toppunktet, der har en makker nemlig f(4) = 2^½.
Ergo er 2^4 = 4^2 den eneste heltallige løsning.

Desværre har jeg ikke fundet ud af at differentiere x^(1/x) så jeg kan bevise mange af de ting jeg bare har set på en graf.
Plus jeg mangler også at bevise at x^(1/x) -> 1 for x -> uendeligt.

PS. Godt jeg først skal kl. 1 i morgen.

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. marts 2003 af SP anonym (Slettet)

Esmil -->

Så nemt slipper du ikke. ;-)
Hvad med 20^40=40^20, og så fremdeles?

Jeg mener at 404 gjorde opmærksom på at der ikke kun findes trivielle løsninger.

Mvh. Jan

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. marts 2003 af SP anonym (Slettet)

Doh!

Undskyld! 20^40 er self. forskellig fra 40^20!

Jeg tror at jeg skal have noget søvn nu. :-)

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. marts 2003 af MarieBS (Slettet)

Til RE:
Næh, er er endnu ikke fundet nogen løsning til lagkageproblemet, men sig til, hvis du tilfældigvis kommer på noget.

Svar #9
25. marts 2003 af 404error (Slettet)

Esmil er inde på noget af det rigtige... Men hvad med f.eks.
(-2,-4)?

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. marts 2003 af MarieBS (Slettet)

Er f(x) ikke defineret for alle ulige hele tal for x<=0? Ikke at det giver flere løsninger, for funktionsværdierne er naturligvis negative.

Svar #11
27. marts 2003 af 404error (Slettet)

Her er så et løsningsforslag.

Antag først, at n,m>0. Vi ser da straks, at

n^m=m^n <=> log(n)/n=log(m)/m.

Definér da f(x)=log(x)/x. Det oprindelige spørgsmål kan da generaliseres: Findes der heltal n og m, n forskellig fra m, så

f(n)=f(m)?

En funktionsundersøgelse giver svaret. Differentiér først f. Vi får

f'(x)= (1-ln(x))/x^2.

Det ses, at f(x)=0 hvis og kun hvis log(x)-1=0, dvs. x=e. Det indses let, at dette er globalt maksimum (undersøg andenordensbetingelser, eller lav en funktionsundersøgelse).

Eftesom f(1)=0 eksisterer der for hvert x i intervallet (1;e) et tal y i intervallet (e;uendelig), således at f(x)=f(y). Det eneste heltal i dette interval er imidlertid 2, og vi får ved lidt yderligere regninger, at (2,4) og (4,2) er de eneste positive heltallige løsninger.

Regner man videre, finder man hurtigt ud af, at der ikke kan eksistere løsninger hvor n>0 og m<0. Dvs. hvis n,m<0 fås umiddelbart af argumenterne for det positive tilfælde, at de eneste løsninger er (-2,-4) og (-4,-2).

Skriv et svar til: En fiks opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.