Matematik

bevis for lineær reg.

15. juni 2008 af heidi_stjerne (Slettet)

Hej

hvordan laver man et bevis for konstanterne a og b i en linæer reg?

tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Det er ret omfattende! Hvad skal du bruge det til? Hvilket niveau er du på?

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. juni 2008 af JesperJuul (Slettet)

Altså et bevis for, hvordan man finder dem? Det er forholdsvist simpelt - bare sæt to ensvinklede trekanter op for a, og så følger b. Eller hvad vil du bevise?

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Jeg gættede på, det var lineær regression, vi talte om. Der skal man minimere en sum af kvadratafstande.

Svar #4
15. juni 2008 af heidi_stjerne (Slettet)

det er regression. det er A niveau på gym og et spørgsmål til den mdt eksamen.
der står:
linær vækst, graf og forskrift, betydning af koefficienter i forskriften, bevid for beregning af koefficienter i forskrift.... osv. altså at det er det man skal forklare/diskutere

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

I så fald er det en optimeringsopgave, da I ikke har lært om projektioner i vektorrum, hvor dimensionen er større end 3 - formoder jeg.

Problemstillingen er som følger:
Man har en n forskellige punkter, (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn)

Nu ser man på linjen f(x)=ax+b og de tilhørende lodrette afstande til punkterne. Hver lodret afstand er givet ved:

dist(f,(xi,yi))=|f(xi)-yi|=|axi+b-yi|

Alle disse afstande kvadreres (sættes i anden potens) og lægges sammen til summen:

kvadratafstandssum=(ax1+b-y1)^2+...+(axn+b-yn)^2

Ved at opfatte a og alle punkternes x- og y-koordinater som konstanter, giver dette en funktion med b som den uafhængige variabel. Denne funktion kan optimeres mht. b. Dette er et langt og besværligt arbejde, der munder ud i konklusionen, at

b=Y-aX

hvor Y=(y1+y2+...+yn)/n og X=(x1+x2+...+xn)/n er gennemsnittene af hhv. y-værdierne og x-værdierne til punkterne. Dette fortæller os som bonus, at

Y=aX+b

med andre ord, at gennemsnittet af alle punkterne ligger på "bedste rette linje"/regressionslinjen.

Skal jeg fortsætte?

Svar #6
15. juni 2008 af heidi_stjerne (Slettet)

okay, tror jeg nogenlunde jeg fik fat i - meget gerne :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Det er værd at bemærke, at funktionen med b som variabel nødvendigvis har minimum - ikke maksimum - når man optimerer...

Nu ser man på summen af kvadratafstandene igen, men med Y-aX indsat i stedet for b - for så er summen jo så lille som den kan blive set ift. b hele tiden. Summen bliver:

kvadratafstandssum=(ax1+Y-aX-y1)^2+...+(axn+Y-aX-yn)^2

= [a(x1-X)-(y1-Y)]^2+...+[a(xn-X)-(yn-Y)]^2

bemærk, at de kantede parenteser [ og ] bare er parenteser, men det bliver lettere at se, hvad der hører sammen, når man bruger disse.

Hvis nu x'erne og y'erne er konstanter (det er de jo, da punkterne er kendte og faste) så er kan a nu betragtes som den uafhængige variabel for en funktion. Denne funktion kan optimeres mht. a, hvilket giver resultatet: (fortsættes i næste indlæg)

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

a=[(y1-Y)(x1-X)+...+(yn-Y)(xn-X)]/[(x1-X)^2+...+(xn-X)^2]

Hvis du har Word kan du læse min udgave af et trin-for-trin gør-det-selv-bevis, hvor man udleder denne formel kun med brug af viden om andengradspolynomier, samt min egen facitbesvarelse til denne på følgende to links:

http://peecee.dk/upload/view/119139

og

http://peecee.dk/upload/view/119140

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Hvis man ser på det som andengradspolynomier i hhv. b og a som variable, er det oplagt, at funktionerne har minimum, da polynomierne har positive koefficienter til andengradsleddene, og dermed "vender parablerne grenene opad", som det hedder.

Svar #10
17. juni 2008 af heidi_stjerne (Slettet)

mange tak for hjælpen !! :)

Skriv et svar til: bevis for lineær reg.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.