en tricky brøk

Forskellen på tæller og nævner er 6n² + 6 = 6(n²+1) og hvis et tal går op i både tæller og nævner, så går det også op i differensen mellem dem. Hvis nu specielt et primtal går op i tæller og nævner og dermed i 6(n²+1), så vil primtallet gå op i mindst én af faktorerne, dvs. primtallet går op i 6 eller i (n²+1). Bemærk at implikationen kun gælder den ene vej angående det med differensen, nemlig:

p|a og p|b ⇒ p|(a-b)

Læses "hvis p går op i a og p går op i b, så medfører dette at p går op i a og b's differens". Det modsatte er ikke nødvendigvis tilfældet, hvilket let kan ses med eksempler som at 3 går op i (7-4), men 3 går IKKE op i 7 eller 4.

Hvis brøken kan forkortes med et primtal har jeg altså indtil nu sluttet, at dette primtal går op i mindst én af faktorerne 6 og (n²+1). Da 6 = 2·3 skal vi altså se, hvorvidt n³+3n²+2n+3 generelt kan divideres med 2 eller 3. Da lige tal forbliver lige ved potensopløftning, mens ulige tal forbliver ulige ved potensopløftning, og idet man kender reglerne lige+lige = lige etc., kan man hurtigt se, at tallet 2 ikke går op!

Med tallet 3 derimod vil tal, der har rest 1 efter division med 3 stadig have rest 1 efter potensopløftning, mens tal der har rest 2 skiftevis vil få rest 1 og rest 2 for hver potensopløftning. Deraf ses at n³+2n kan divideres med 3 for alle n og det er oplagt at resten af udtrykket kan divideres med 3.

Brøken kan altid forkortes med 3! Vi har endnu ikke set på faktoren (n²+1). Vi kan prøve at lave polynomiers division af (n³+3n²+2n+3) og (n²+1):

(n³+3n²+2n+3)/(n²+1) = n+3, og en rest på n

Men der findes ingen tal, der både går op i (n²+1) og n, så denne faktor kan aldrig bidrage med primfaktorer, der går op i både tæller og nævner. Faktisk heller ikke i tælleren, når man regner efter...

Sikke en lang smøre :S Håber det trods alt kan bruges. Ellers spørg!