Matematik
Differentialligninger
Hejsa, jeg har lige læst lidt om differentialligninger. Jeg har kigget først og fremmest på førsteordens lineære differentialligninger. I det vi har en differentialligning på formen
Med løsningerne
Som kan udledes hvilket jeg ikke vil kede jer med her. Men når jeg nu har denne og har udledt den, må jeg så bruge den til at udlede de 1. ordens lineære differentialligninger man nårmalt møder på gymnasieniveau? Fx.
som har løsningerne
Bevis:
Vi ser den som en 1.ordens lineær differentialligning på formen
idet
og hvor vi har at f(x)=-k og g(x)=0. Vi kan nu bruge at F(x)=-kx og gange igennem med den integrerende faktor e^F(x) så vi får
Kigger vi nøje på venstresiden ser vi at vi kan få
Og hvis vi integrerer får vi
hvor vi så får at
Og ved at dividere igennem med e^(-kx) får vi følgende
Som var den løsning vi skulle vise..
Er dette et gyldigt bevis? Jeg har i beviset brugt samme metode som man bruger til at bevise løsningen til den generelle formel.
Svar #1
05. november 2008 af Dkuro Chan (Slettet)
Jo ... det er gyldigt, meeeen hvorfor så meget regning ? Du kender det generelle resultat, så det er bare at indsætte i specialtilfældet ikk .............
Svar #2
05. november 2008 af tumle1984 (Slettet)
Jo det kunne man gøre, men i Kalkulus bruges denne måde til at løse 1. ordens lineære differentialligninger med, så det gør jeg også ;o)) Men tak for dit svar..
Svar #3
05. november 2008 af Dkuro Chan (Slettet)
Du misforstår vist ... hvorfor ikke bare bevise at y=cekx er den fuldstændige løsning til y'=ky ved at regne på det "store" resultat?
Svar #4
05. november 2008 af Dkuro Chan (Slettet)
............
Du har allerede vist at
(i) y=e-F(x)(∫eF(x)g(x)dx+C) løser den "generelle" ligning y'+f(x)y=g(x)
Løsning til y'=ky:
Med f(x)=-k og g(x)=0 er F(x)=∫(-k)dk=-kx+C1 og der regnes på (i)
y=ekx-C1(∫0 dx + C)=ekx-C1(C2+C)=cekx med c=e-C1(C2+C) som bare er en konstant
... ren regning ^_^
Svar #5
05. november 2008 af Dkuro Chan (Slettet)
Rettelse til #4 ... F(x) =∫(-k)dx=-kx+C1 .......... sigh, en skam man ikke kan rette i indlægene
Svar #6
05. november 2008 af tumle1984 (Slettet)
Nej jeg misforstod ikke, det var på den måde jeg havde forstået det. Men jeg bruger den lidt længere regnemetode, ved at bruge metoden for beviset af løsningen til den generelle formel for 1. ordens lineære ligningssystemer. Men jeg ser til gengæld at jeg har været lidt hurtig, for jeg havde angivet min F(x)=-kx hvor den, som du helt rigtigt gør, skulle være F(x)=-kx+C_1 :o)
Skriv et svar til: Differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.