differntialligning

Gæt på en løsning af formen y=k= konstant og sæt ind i ligningen. Du vil se at for en bestem værdi af k vil det være en løsning. Derefter find en løsning til differentialligningen dy/dt = -ay. Dette gøres ved separation af variable. d.v.s at du skal omskrive ligningen til dy/y = -adt og integrer. Summen af de løsninger er den fuldstændige løsning.

Det forstår jeg slet ikke, vil du evt, ikke vise det på selve differentialligningen? Mener du at jeg skal omskrive dy/dt? Jeg forstår godt jeg skal løse den ved seperation af variable men ikke hvordan du kommer frem til dy/dt=-ay.

Jeg omskriver din ligning til dy/dt+ay=5a. Første del i #1 angiver hvordan du kan finde en af løsningerne til differentialligningen. Kald denne løsning for y₀ . Lad en anden løsning til ligningen  dy/dt+ay = 0 være y₁. Kald y=y₀+y₁, og sæt den ind i differentialligningen. Man får dy/dt+ay = d(y₀+y₁)/dt+a(y₀+y₁) = dy₀/dt+dy₁/dt+ay₀+ay₁= (dy₀/dt+ay₀) + dy₁/dt+ay₁ = 5a+0 = 5a. Her har jeg til sidt brugt at y₀ og y₁ er løsning til de respektive differentialligninger. y₀+y₁ er altså løsninger til differentialligningen. Ligningen dy/dt+ay = 0 kaldes den tilsvarende homogene differentialligning. Man kan vise at samtlige løsninger kan findes som summen af en løsning + samtlige løsninger til den homogene differentialligning.