Differentialligning

Se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=657849

#0. Hej.

Vi har at y' + y = 2x + 5. Start derfor med at løse den homogene ligning y' + y = 0. Det ses, at det resterende udtryk er på formen ax + b. Vi får da, at (ax + b)' + (ax + b) = 2x + 5 ⇔ ax + (a + b) = 2x + 5. Ved at sammenligne venstre- og højresiden ses, at a = 2 og (a + b) = 5 ⇔ b = 5 - 2 = 3. Den fuldstændige løsning er nu summen af disse to løsninger. Konstanten bestemmes idet vi ved, at y = 1 er tangent, dvs. f'(x₀) = 1 for et eller andet x₀.

Jeg forstår ikke helt forklaringen i dit link.

Kan du prøve at uddybe lidt?

Løsning til den homogene ligning y' + y = 0 ved brug af separation af variable.

y' + y = 0 ⇔ -y'/y = 1   (y ≠ 0)

-∫(dy/y) = ∫dx ⇒ -ln|y| = x + k ⇔ y = ±e^{-x - k} ⇔ y = Ce^-x   for en ny konstant C = ±e^-k.

Jeg forstår ikke helt din skridt, altså udregningerne i sidste linje?

#5.

Vi starter med at separere variablerne og herefter placere et integraltegn på begge sider. Ved integration af dy/y fås ln|y| og ved integration af 1 med hensyn til x fås x og vi husker en integrationskonstant k. Vi eksponentierer begge sider og bruger herefter potensregnereglen p^n+m = pⁿ·p^m. Evt. kan du ved opslag se, at den generelle løsning til y' = y er y = Ce^x hvor C er en arbitrær konstant.

Hej freece, måske skulle vi lige få afklaret hvad din lærer kræver af dig. Skal I løse sådanne ligninger ved den gode gamle metode, separation af de variable, eller skal I bruge et CAS-værktøj ?

Okay. tak. Men hvordan kommer du frem til, at y' + y = 2x + 5 bliver y' + y = 0 ?

Vi skal bare nøjes med et CAS-værktøj - kan i hjælpe med dette istedet? :-)

Vil i hjælpe med hvordan dette løses i CAS?

Benyt dig af desolve...

desolve(y'=2x+5-y,x,y)

Da f(x) har en vandret tangent (y = 1) må der findes et x₀,  så der gælder f ' (x₀) = 0.

Da tangenten er y = 1 må der også gælde, at f(x₀) = 1.  Tegn en skitse, så bliver det nemmere at forstå.

Disse to oplysninger sætter du ind i din differentialligning: y ' = 2x + 5 - y og får: f ' (x₀) = 2*x₀ + 5 - f(x₀)  ⇒ 0 = 2*x₀ + 5 - 1 ⇔ x₀ = -2.     Så, se linje 2, gælder der f(-2) = 1.

CAS, TI-89 og TIinteractive, bruger funktionen desolve. Desolve skal have en differentialligning og en værdisammenhæng, så du taster  desolve( y ' = 2x + 5 - y and y(-2) = 1, x, y) og løsningen kommer frem.

Husk at du i besvarelsen skal vise hvordan du lommer frem til f(-2) = 1 og forklar hvordan du har anvendt CASværktøjet.

Tusinde tak :)

Ved i om MathCad 14 har en funktion, der kan det samme som desolve? Jeg forstår egentlig godt, hvad jeg skal, men mit eneste værktøj er Mathcad 14.