Matematik

Bevis

17. november 2004 af 2835 (Slettet)

For negative eksponenter kan vi gå frem på følgende måde. x^(–n) = 1/(x^n) , x forskellig fra 0. Da nævnerfunktionen er differentiabel, kan vi anvende reciprok-sætningen og finder

(1) (x^-n)'= (-(x^n)')/((x^n)^2)

Er det muligt at der er en som kan forklarer mig på hvilket grundlag man kan opskrive ligning (1)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. november 2004 af Lurch (Slettet)

nu ved jeg ikke helt hvad reciprok-sætningen indbefatter, men ligning (1) er jo udledt fra regelen om differentiering af en brøk.

(x^-n)'= (1/x^n)' =
((1)'*(x^n) - (1)*(x^n)')/(x^n)^2 =
(0 - (x^n)')/(x^n)^2 =
-(x^n)'/(x^n)^2

Hvilket er ligning (1).
Med lidt reducering, finder man at,
-(x^n)'/(x^n)^2 =
-n*x^(n-1)/(x^n)^2 =
(-n)/(x^(n+1))

(x^-n)'= (-n)/(x^(n+1))

Svar #2
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

Jeps, dog er problemet at min klasse ikke er nået så langt, så det vil vel være lidt mærkeligt at møde op med et sådan bevis, jeg vil hører du kender en anden måde at bevise sætningen på, eller evt. en hjemmeside hvor det står?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. november 2004 af Lurch (Slettet)

hvad siger reciproksætningen?

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. november 2004 af Lurch (Slettet)

okay. bare glem det. jeg ved hvad du mener. der kommer et bevis om 5min

Svar #5
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

jeg fandt ud af, på www.matlex.dk , at den hedder:
(1/f(x))'=((-f'(x))/(f^2(x)))

Men som sagt, har min lærer ikke udledt denne formel endnu

Svar #6
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

okay tak

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. november 2004 af Lurch (Slettet)

kald x^n for f(x)
du er interesseret i at se om
1/f(x) har en grænseværdi for x0->x

( (1/f(x) - 1/f(x0) ) / (x-x0) =

fælles brøkstreg
( (f(x0)-f(x))/(f(x0)f(x)) ) / (x-x0) =

( f(x0)-f(x) ) / ( f(x0)f(x)(x-x0) =

sæt -1 udenfor parentes

-( f(x)-f(x0) ) / ( f(x0)f(x)(x-x0) =

del brøken op
-((f(x)-f(x0))/(x-x0)) * (1/f(x0)f(x))=

heraf ser du det du vil vise
for x0->x gælder at
(f(x)-f(x0))/(x-x0) -> f'(x)
og
1/f(x0)f(x) -> 1/f(x)^2

alt i alt altså
-f'(x)/f(x)^2

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. november 2004 af Lurch (Slettet)

ups, der skulle står for x -> x0 og ikke omvendt!

kald x^n for f(x)
du er interesseret i at se om
1/f(x) har en grænseværdi for x -> x0

( (1/f(x) - 1/f(x0) ) / (x-x0) =

fælles brøkstreg
( (f(x0)-f(x))/(f(x0)f(x)) ) / (x-x0) =

( f(x0)-f(x) ) / ( f(x0)f(x)(x-x0) =

sæt -1 udenfor parentes

-( f(x)-f(x0) ) / ( f(x0)f(x)(x-x0) =

del brøken op
-((f(x)-f(x0))/(x-x0)) * (1/f(x0)f(x))=

heraf ser du det du vil vise
for x -> x0 gælder at
(f(x)-f(x0))/(x-x0) -> f'(x)
og
1/f(x0)f(x) -> 1/f(x)^2

alt i alt altså
-f'(x)/f(x)^2

Svar #9
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

JAg er bange for at vi har misforstået hinanden:

Sætn.:
f(x)=x^-n, f er differantiabel i x, og
f'(x)=-n*x^(-n-1)

Jeg skulle meget gerne bevise ovenstående sætning, til i morgen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#0: Det er vel blot at skrive, som du også gør, at

x^n = 1/x^(-n), n
hvilket er ækvivalent med differentiation af

1/x^n, n>0, x ikke-0

under anvendelse af reciproksætningen samt, at (x^n)' = nx^(n-1) for n>0.
Så

(1/x^n)' = -(n*x^(n-1))/(x^(2n)) = -(n*x^(n-1))/(x^(2n)) = -n*x^(-n-1)

for n>0. Det er det samme som

(x^n)' = n*x^(n-1), x ikke-0

for n
//Singularity

Svar #11
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

#10
hmmmm...

x^n = 1/x^(-n), nDer skal vel ikke stå minus foran n i nævneren, jeg ville skrive:
x^-n = 1/x^(n), n
Men jeg må indrømme at jeg ikke helt forstår hvad der menes.

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. november 2004 af Lurch (Slettet)

#9
Det er jo netop det jeg har bevist.
Beviset siger at
(1/f(x))' = -f(x)/f(x)^2

i dit tilfælde er f'(x)=x^n
så altså beviset siger, at
(1/x^n)' = -(x^n)'/(x^n)^2

hvilket jo netop var hvad du ville vise

Svar #13
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

Jeps, men problemet er at jeg IKKE må benytte mig af sætningen:

(1/f(x))' = -f(x)/f(x)^2

da jeg ikke "kender" denne sætning, jeg skal altså kunne bevise:

Sætn.:
f(x)=x^-n, f er differantiabel i x, og
f'(x)=-n*x^(-n-1)

uden at benytte mig af:
(1/f(x))' = -f(x)/f(x)^2

Brugbart svar (0)

Svar #14
17. november 2004 af frodo (Slettet)

du kører på med lidt induktion:

n=-1:
f(x)=x =>f'(x)=-(-1)*x^(-(-1)-1)1*x^0=1

Og det ved vi jo er rigtigt! IKKE? Du har vel lært at x differentieret giver 1?

Derefter antager vi at det ER sandt for n=k, altså at:
f(x)=x^(-k) => f'(x)=-k*x^(-k-1)

Tag fx k=-1 som ovenfor.. Vi vil da vise at det derfor også er sandt for n=k+1:

f(x)=x^(-k-1) => f'(x)=?

Brugbart svar (0)

Svar #15
17. november 2004 af frodo (Slettet)

kender du brøkreglen?

Svar #16
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

hvis du tænker på (f/g)'(x), ja så kender jeg den.

Jeg må dog overhovedet ikke bruge talværdier til beviset, noget sted.

Brugbart svar (0)

Svar #17
17. november 2004 af frodo (Slettet)

hvorfor bruger du så ikke bare den?

Den kan du bruge til den måde jeg viste dig begýndelsen på. Det er den måde vi fik den gennemgået på, da vi havde om det, så det tror jeg gerne du må.

Svar #18
17. november 2004 af 2835 (Slettet)

Hvilket indlægs nummer tænker du på?

Brugbart svar (0)

Svar #19
17. november 2004 af frodo (Slettet)

du kan uden problemer udlede "reciprokreglen" ud fra brækreglen. Du sætter bare f(x)=1

Brugbart svar (0)

Svar #20
17. november 2004 af frodo (Slettet)

brækreglen! Hehe... Ikke helt meningen!

Brøkreglen skulle der stå.

Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.