lineær algebra tvivl om løsning

Hvis determinanter ikke er 0 er der præcis en løsning (Cramers teorem). Vi har nemlig A*x=b <=>

x=A^-1*b Der er ingen løsninger, når determinanten er 0

Jo, hvis A er ingulær (det A=0) kan der være løsninger, men der behøver ikke, det er hvad jeg husker fra det.

Hmm meget smart egentligt.

Men vores forlæser er ikke særlig begejsret for determinanter og meningen med opgaverne er sådan set at vi bare skal kunne se på den reducerede matrice også sige hvis b = 0 så er der ingen løsning a forskellig fra 0 uendelig mange løsninger osv.

Ja men vi er vel nødt til at have et system af ligninger, før vi kan tale om løsninger, du har bare skrevet en matrix op. Har du derimod et system af ligninger, så er for eksempel x₁=(detA₁)/(detA) osv. Du skal altså lige have søjlevektorerne x og b, så den kan skrives på ovennævnte form.

Jeg skriver lige opgaven op:

Jeg har følgende lignings system med 4 lignninger og 3 ubekendte:

1*x1 +   2*x2   +    3*x3     = 4
0*x1 +   a*1*x2 +  1*x3     = 2
0*x1 +   a*1*x2 + a*1*x3  = 2
1*x1 +(2+a)*1*x2 + 4*x3  = 6+b

Det laves om til en matrice og jeg ved hjælp af de elementære række operationer reducers den til:

1    2    3    4
0    a    1    2
0    0   a-1 0
0    0    0    b

Så står der:

For hvilke værdier af a og b er der:
Ingen løsn
udenlgie mange løsn
præcis 1 løsn.

Jeg kan godt se, hvis b er forskellig fra 0 er ligningssystemet inkonsistent.

Jeg kan også godt se, hvis a = 1 og b = 0 vil x3 blive en fri variabel og der vil derfor være uendelig mange løsninger.

Men om der kan være præcis 1 løsning er jeg i tvivl om fx ved at sætte b = 0 og a = 2???

La os tage den første, du skal bruge symbolerne her, det giver eget bedre overskuelighed, altså:

x₁+2x₂+3x₃=4 osv.

Man ser straks, at ligning 2 og 3 medfører, at a=1

Okay.

Men mit spørgsmål er egentlig "kun".

Hvis a = 2 og b = 0!

Så medfører det jo et 1 tal i række 3 søjle 3, samt at 4 ligning forsvinder. Hvis a = 2 vil der i række 2 søjle 2 stå 2.

Altså jeg vil få matricen:

1 2 3 4
0 2 1 2
0 0 1 0
 

Den vil jo reelt kunne reduceres til at jeg få et ledende 1 tal på alle pladser i diagonalen også vil der jo være "præcis 1 løsning", men spørgsmålet er om man må reducere igen når man indsætter en værdi af konstanten?
 

Jeg kan simpelthen ikke huske det, men det foresvæver mig, at det har noget at gøre med rangen af matricen (altså det maksimale antal søjle- eller rækkevektorer, der er lineært uafhængige). Hvis rang r=n, er der præcis en løsning, hvis den er mindre end n, er der uendeligt mange. Det er hvad jeg kan komme i tanke om, uden at jeg skal til at grave efter det på Internettet. Det kan du lige så godt selv gøre.

#7 til
<citat>spørgsmålet er om man må reducere igen når man indsætter en værdi af konstanten?</citat>

så er svaret naturligvis ja ... men det giver jo ikke hele svaret på opgaven :/ Du skal vel bestemme samtlige aεR for hvilke systemtet har én løsning eller uendelig mange løsninger ...

Den nederste række i din reducerede matrix giver dig at b =! 0 medfører ingen løsning for alle a.

For at a=1 og b=0 er der uendeligt mange løsninger.

For a =! 1 har matricen uafhængige søjler/rækker, så den har fuld rang og nulrummet er derfor tomt, hvorfor der kun er en løsning.

#9

det var det jeg ville vide. Så kan jeg sagtens løse opgaven.

#10 du har vist overset tilfældet a=b=0 ...

#12

"For a =! 1 har matricen uafhængige søjler/rækker, så den har fuld rang og nulrummet er derfor tomt, hvorfor der kun er en løsning."

Der skulle selvfølgelig stå a=! 1 og b=0, så a=b=0 tilhører dette tilfælde...

#13 hmmm ... hvis matricen i #5 er korrekt så kan du da se at tilfældet med a=b=0 giver at første og anden søjle er proportionale, dvs. dette tilfælde giver det samme som a=1 og b=0 ikk?