Matematik

Potensvækst

25. november 2004 af Peter H (Slettet)

Nogen som har et eksempel på potensvækst?

Altså fra virkeligheden...

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2004 af Peden (Slettet)

Hvad mener du?

Lidt ala det faktum at befolkningstilvæksten er en eksponentiel udvikling, eller hvordan?

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#0: Ja, Keplers 3.lov for planeternes omløb omkring Solen i Solsystemet er et eksempel på en potensudvikling. Den er der i hvert fald ikke noget fiktivt over :)

Lovmæssigheden siger, at kvadratet på omløbstiden T er proportionalt med kubus på middelafstanden r til Solen;
formelt:

T^2 = k*r^3

hvor k er en konstant. Dermed er

T = k'*r^(3/2)

hvor k'=sqrt(k). Dette er tydeligvis en potensudvikling.

//Singularity

Svar #3
29. november 2004 af Peter H (Slettet)

Vi skal skrive en rapport om vækstmodeller, om Lineær vækst, eksponentiel vækst og potens vækst... lineær og eksponentiel er ikke så svære, men når vi skal komme med eksempler på potens vækster som danner en model for noget i virkeligheden, gik vi i stå =)

#2, takker den kan da i hvert fald godt bruges!

Vi har dog også lidt problemer med at skrive noget generelt om potens funktioner :/

Brugbart svar (2)

Svar #4
29. november 2004 af Epsilon (Slettet)

En POTENSFUNKTION i x er en funktion på formen

f(x) = x^a

hvor a E R\\{0} er en reel konstant.

For a hel og positiv er f defineret for alle x. For vilkårlige a er funktionen dog kun defineret for x>0, for positive a dog tillige for x=0.

Forskellige tilfælde:

a0a=1: f er lineær; f(x) = x
a>1: f er voksende

En POTENSUDVIKLING i x er en funktion på formen

g(x) = b*f(x) = b*x^a

hvor b E R\\{0}. Definitionsområdet for g afhænger af a, jf. ovenfor.

Der findes talrige eksempler på (natur)fænomener, som approksimativt lader sig beskrive ved potensudviklinger. Her skal blot nævnes et par stykker:

a) Keplers 3.lov for sammenhængen mellem planeternes omløbstider T om Solen og middelafstande r til Solen.

b) Stefan-Boltzmanns lov for sortlegemestråling. Sammenhængen mellem excitansen (udstrålet effekt P per areal) og kelvintemperaturen T;

P = ('lille sigma')*T^4

hvor 'lille sigma' = 5.6704*10^(-8)W/(m^2*K^4) er Stefan-Boltzmann konstanten.

c) Svingningstiden T af et matematisk pendul af længden L, som svinger i en lodret plan:

T = 2*pi*sqrt(L/g) = (2*pi/sqrt(g))*sqrt(L)

hvor g=9.82m/s^2 er størrelsen af tyngdeaccelerationen (i Danmark).

Måske kan disse oplysninger bruges til noget fornuftigt?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#4: Rettelse:

"excitansen (udstrålet effekt P per areal)" ->

"excitansen I (udstrålet effekt per areal)"

og dermed

"P = 'lille sigma'*T^4" ->
"I = 'lille sigma'*T^4"

//Singularity

Svar #6
29. november 2004 af Peter H (Slettet)

Mange tak! Det kan helt sikkert bruges!

Svar #7
06. december 2004 af Peter H (Slettet)

Dav igen...

Jeg kan dog ikke helt se hvorfor eksempel c) i #4 er en potensvækst?

Altså, vil det så sige at f(x) = sqrt(x) også er en potensfunktion? Og at g(x) = x^2 også er en potensfunktion?

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#7: Hvis du opskriver formlen for det matematiske penduls svingningstid, og sammenholder det med potensudviklingen givet i #4;

g(x) = b*f(x) = b*x^a

T(L) = (2*pi/sqrt(g))*L^(1/2)

så er b = 2*pi/sqrt(g) jo konstant (i hvert fald så længe, vi holder os på en given breddegrad), og a = 1/2.

Til dine to sidste spørgsmål kan jeg kun svare JA! (jf. #4) Begge potensfunktioner er voksende på R+.

//Singularity

Svar #9
09. december 2004 af Peter H (Slettet)

Så hvad er den konkrete forskel på en eksponential funktion, og en potens funktion?

Svar #10
09. december 2004 af Peter H (Slettet)

btw, i #2 hvad er værdien for konstanten k?

Skriv et svar til: Potensvækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.