Afstand fra punkt til linje

Der skal stå (14-x)² i det første led i din vens formel ellers er det rigtigt. (x,f(x) er et punkt på den røde kurve. Denne formel giver så afstanden til et vilkårligt punkt på den røde kurve. Du skal så differentiere denne funktion for at finde hvornår afstanden er mindst.

# 1 så kommer jeg jo til at få et punkt som hedder (5;0,0035265x^2-0,176327x+13)

Nej. Et vilkårligt punkt på kurven hedder (x; 0,0035265x²-0,176327x+13). Hvilket punkt du får er så afhængig af hvilket x du bruger. Afstanden fra et punkt på kurven til (14,5) er så givet ved den almindelige afstandsformel. Hvilket afstand du får er så selvfølgelig afhængig af hvilken punk på kurven svarede til hvilken x ddet drejer sig om. Der spørges om det punkt på kurven, der har mindst afstand til (14,5). Det betyder at du på sædvanlig måde skal finde for hvilken x, der er minimum.

 nårh nu forstår jeg det bedre, men hvordan kan man være sikker på at den korteste afstand er fra minimumspunktet på kurven? punktet (14;5) er jo ikke lige under minimumspunktet. og når man tænker lidt over det, burde den korteste afstand så ikke være punktet på kurven som er lodret ovenover det punkt vi kender?

Det er ikke afstanden til minimumspunktet du skal finde; men den værdi af x, der giver mindst afstand til (14,5). Du skal altså finde det x hvor afstanden Kvadratrod((14-x)² +(5-f(x))²) er mindst mulig. Det er iøvrigt lidt nemmere at finde minimum for kvadratet på afstanden. Den har jo minimum for samme x-værdi. Der er ingen garanti for at resultatet bliver punktet lige over de (14,5)
 

#5 Hvad mener du med at finde minimum for kvadratet på afstanden og at den har minimum for samme x-værdi?

Du må undskylde at jeg spørger så meget, men vil bare meget gerne forså det.

Der spørges om minimum for funktionen d=kvrod((14-x)2 +(5-f(x))²). Dette minimum findes for en eller anden værdi af x. Nu er d² en monoton voksende funktion for d>0, så hvis d(x₀) <=d(x) vil der også gælde d²(x₀) <= d²(x). De 2 funktioner har altså minimum for samme værdi x₀.

Du skal absolut ikke undskylde at du spørger så meget. Det er kun godt når du virkelig vil vide besked.

#7 Hvad er en monoton voksende funktion? har ikke hørt det udtryk før

Det betyder at hvis du bruger højere x-værdier, vil du også få højere y-værdier. Mere præcist:

x₁<x₂ => f(x₁) < f(x₂)

nårh okay mange tak nu forstår jeg det nogenlunde, men skal jeg så bare prøve med nogle forskellige x-værdier og se hvilken x-værdi der giver den mindste afstand?

Nej. Du skal differentier afstandsfunktion eller bedre afstandsfunktionen i anden potens og sætte resultatet lig 0. Løsningen vil være den værdi af x, som giver mindst afstand til kurven.

Tror jeg har forstået det nu:)

#Peter Lind. Nu har jeg siddet med opgaven i meget langt tid, jeg forstår godt hvad det er jeg skal gøre, men jeg ved ikke hvordan jeg skal løse det, så vil du ikke vise mig hvordan du differentier afstandsfunktion eller sætter afstandsfunktionen i anden potens og hjælpe mig med at finde x?

Jeg har set en løsning på opgaven, men den er meget indviklet og forstår den ikke, så kan ikke bruge den til ret meget, så ved ikke hvad jeg skal gøre hvis du ikke kan hjælpe mig.

Jeg vil egentlig også tro, at meningen er at du skal løse den ved hjælp af et CAS værktøj. Ellers:

d(x) = (14-x)² +(5-f(x))². Her kan du benytte regleme for differentiation af sammensat funktion. med g(y) =y², y= 5-f(x) = h(x), g(h(x)) =  (5-f(x))². g'(h(x))  = g'(y)h'(x)= 2y*(5-f(x))' = 2y(-f'(x)) = 2(5-x)*(-f'(x)) = 2*(x-5)*f'(x). Leddet (14-x)² differentieres på samme måde; men er lidt lettere

Kan du ikke skrive det lidt mere overskueligt op? Det er lidt forvirrende når det står sådan lige efter hinanden.

Definer g(y) = y².og h(x) = 5-f(x). Du har så

g(h(x)) = h(x)² = (5-f(x))²

Endvider gælder der at g'(y)=2y og h'(x) = -f'(x)

Ifølge reglen for differentiation for sammensat funktion er g(h(x))' = g'(h(x))*h'(x) = g'(y)*h'(x)

sætter du de aktuelle funktioner ind får du så

(5-f(x))²' = g(h(x))' = 2y*h'(x) = 2h(x)*h'(x) = 2(5-f(x))*h'(x) = 2(5-f(x))*(-f'(x))

og hvad er det så du siger jeg skal gøre med det?

Du skal løse ligningen d'(x)=0. (d(x) er defineret i #14)

Peter forklarer reglerne undervejs i sine udregninger. Hans resultat er gyldig, thi vores rum er udstyret med en euklidsk metrik.

# 18 okay jeg prøver at kigge på det igen i morgen, jeg orker det simpelthen ikke nu.

#19 Hvad mener du med det her? "Hans resultat er gyldig, thi vores rum er udstyret med en euklidsk metrik"