Side 2 - Snorbølger - 404error

#18: Det er definitionen på den anden partielle afledede - selv om jeg gerne indrømmer, at notationen i bemeldte rapport ikke er særligt gennemskuelig. Kaldes amplitudefunktionen for u som før, ser vi på differenskvotienten

(u_x(x+h,t)-u_x(x,t))/h.

Den anden partielle afledede er /defineret/ som grænseværdien af ovenstående for h gående mod nul. Der altså derfor ikke nogen regneregler involveret her - blot definitioner.

Ok, mange tak igen. Har nu fået skrevet afsnittet om bølgeligningen. Nu vil jeg så se på stående bølger. Her synes jeg, at din udlægning er meget anderleedes end den jeg finder i den omtalte engelske bog.

Altså, jeg kan godt følge dig i at udsving må være en funktion af position og tid.

Men hvordan kan udsving(position, tid) pludselig bare omskrives til X(x)T(t) og så slipper vi af med vores tidligere anden ordens differentialligning?

Og så siger vi at venstresiden afhænger af T og højresiden af X, ok. Men hvorfor siger vi, at begge siderne hver især er lig med en konstant, der lige netop er -k^2?

Forstår godt når du løser differentialligningen så.

Forstår også godt at X(0) = 0, og X(L) = 0. De holdes jo fast i praksis eller hvordan man siger. Forstår også godt hvordan du løser den anden dif. ligning.

Men hvorfor kan du bare sige, at k = n*pi / L , n =(1,2,3...). I undervisningen synes jeg mere vi har snakket om at bølgelængden er lig med L/n, hvor n er antal bølger... Har de to ting noget med hinanden at gøre?

Og til sidst.

Hvor får du B fra og hvorfor er B pludselig lig med fourierkoefficienten A_n. Og altså, fourierkoefficienten, så snakker vi om en bestemt række indenfor periodiske funktioner, right?

Og hvorfor skriver vi \\sum (uendelig og 1)???

Håber ikke at dette var alt for lamt, ville bare gerne have den fulde forståelse, da mine rapporter normalt "kun" er til 8-9. Så hvis min lærer spørger fornemmer, at jeg kan forklare hvert skridt, sådan så det netop ikke bare virker som afskrift, og som om jeg er urealistisk sikker i matematisk metode.

Ej, jeg ville sku lige sige super mange gange tak igen. Du er en super hjælp... Jeg tænkte på, altså, hvorfor gider du egentlig hjælpe mig og andre her? Er det fordi du synes det er meget let eller fordi du vil være underviser (folkeskolelærer, gymnasielærer, universitetslektor e.lgin)??

Opdaterer lige en gang :D

Hvad der egentlig skulle have stået i min rapport om denne specielle type løsning, kan man kun gisne om - der mangler i hvert fald noget tekst. Det er imidlertid en almindelig fremgangsmåde at antage eksistens af en separabel løsning til en partiel differentialligning med passende rand/begyndelsesværdier, som det er gjort i rapporten - og efterfølgende vise, at det faktisk giver anledning til en løsning. I tilfældet med snorbølger kan man ved passende fastlagte begyndelses- og randværdier vise, at den separable løsning er entydigt bestemt. Jeg medgiver dog gerne, at det aspekt er meget løst behandlet i min rapport. Det er til gengæld også ret teknisk.

Hvorfor er begge sider lig en konstant? Det gælder helt generelt. Lad f og g være to funktioner, således at

f(x) = g(t),

for alle x og t. Hvis x_0 er vilkårlig, da er specielt g(t)=x_0 for alle t. Altså må

f(x) = g(t) = x_0

for alle x og t.

Notationen med -k^2 er inspireret af en almindelig brugt notation for en forhåbentlig velkendt andenordens differentialligning. Det er selvfølgelig helt ligegyldigt, hvad du kalder konstanten. Du kan også bare kalde den k.

Hvad angår betingelserne

X(0) = 0, og X(L) = 0

er det såkaldte randværdier. De er unødvendige fra et rent matematisk synspunkt, men repræsenterer den fysiske model, vi tager i brug. Til gengæld sikrer randbetingelserne, at vi rent faktisk kan løse problemet. Derudover må man også specificere begyndelsesværdier - altså funktionsformen til tiden t = 0 for løsningsfunktionen og dens første afledede. Det svarer fysisk til, at man ved, hvordan snoren ser ud før den starter sine svingninger. Det er rimeligvis nødvendig viden, for at man kan udtale sig om snorens bevægelse sidenhen.

Hvad angår k, så er denne fastlagt ved randbetingelserne. Det kan vises, at der eksisterer en række forskellige løsninger til de to ordinære differentialligninger alt afhængig af fortegn på k. I tilfældene hvor k er ikke-negativ, opfylder kun de trivielle løsninger begyndelses/randværdiproblemet. I tilfældet hvor k er negativ, har vi en ikke-triviel løsning netop hvis X(0)=0 og X(L)=0. Det sikrer vi netop ved antagelsen

k = n*pi/L, n=1,2,...

idet løsningskandidaten for ethvert andet valg af k /ikke/ opfylder randbetingelserne. Smart ikke?

Resultatet at bølgelængden er lig forholdet mellem længden af snoren og antal bølger er bare en måde at definere bølgelængde på. Det er ikke specifikt for snorbølgeproblemet.

Det sidste skridt er muligvis det sværeste at forstå. For ethvert n giver fastsættelsen af konstanten k

k = n*pi/L

anledning til en ikke-triviel løsning. Alle disse løsninger er forskellige. Lineære homogene partielle differentialligninger følger superpositionsprincippet, dvs. hvis u og v er løsninger til differentialligningen er også u+v en løsning. Altså kan vi lave vilkårligt mange løsninger på den form - endelige linearkombinationer. Restriktion til en endelig linearkombination af løsninger er unaturlig. Derfor er foreslås en formel løsning i form af en uendelig række. Hvorvidt den uendelig række rent faktisk er en løsning, kan man ikke vide på forhånd, for der kan ske 'mystiske' ting, når man går fra endelige til uendelige rækker. Hvis man har passende ret lempelige antagelser om begyndelsesbetingelserne - altså hvordan snoren ser ud til at starte med - kan man vise, at den uendelige række er den entydigt bestemte løsning til problemet.

Og ja, Fourierrækker er en særlig slags funktionsrække. Fastlæggelsen af A_n og B_n foregår ved at udtrykke begyndelsesbetingelserne (som er funktioner af position) ved deres Fourier sinusrækker og finde A_n og B_n fra Fourierkoefficienterne for disse rækker. Den slags kan altid lade sig gøre for tilstrækkeligt 'pæne' funktioner.

#23: Tja, det er vel blevet en dårlig vane - jeg har været herinde siden gymnasietiden ;-). Jeg regner ikke med at blive underviser på gymnasieniveau, men det til trods er det faktisk nyttigt nok at yde lidt hjælp til andre engang imellem. Man får trænet formidling, og får af og til også lejlighed til at lære noget nyt. Du vil også se af min forumaktivitet, at jeg er rimelig selektiv i, hvad jeg gider svare på. Der skal som regel være noget kød på.

Yes. Teoriafsnittet er hjemme her til eftermiddag tror jeg :) Så er der kun diskussionen, men denne virker ganske ligetil, hvis det ikke var fordi jeg havde være så smart at miste min lommeregner!!! Mange tak for hjælpen...

"Der skal som regel være noget kød på."

Eller hvis man plager som et lille barn og det er jul ;D

Fik skrevet den færdig i går. Det blev en supernice rapport. Jeg er virkelig taknemmelig for den hjælp jeg har modtaget - ja, jeg har nærmest dårlig samvittighed over det :D