Matematik

Funktion af to variabler

21. december 2004 af P3X-018 (Slettet)

Jeg var interesseret i at finde den korteste afstand mellem to funktioner f(a) og g(b). Afstanden mellem de to funktioner kan jo udtrykkes som (jf. pythagoras' lærsætning)

A = sqrt((f(a) - f(b))^2 + (a - b)^2)

Dvs. at afstanden kan opstilles som funktion af to variabler, men hvordan kan jeg finde minimum for denne funktion, når jeg finder funktionens partielt afledte? Det kan lige nævnes at

f(a) = -(5/18)*a^2 + 10

g(b) = 3.5 + sqrt(-2 - b^2 + 3*b) for 1.5 < b < 2

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. december 2004 af Epsilon (Slettet)

Normalt er afstanden mellem to funktioner, f og g, defineret som;

d(f,g) = |f(x)-g(x)|

altså den vertikale afstand. Men du bliver vel bedt om at evaluere den korteste afstand mellem to punkter på graferne for f og g, når

f(x) = 10 - (5/18)x^2
g(y) = 7/2 + sqrt(3y - y^2 - 2)

under restriktionen 1.5

A(f,g)^2 = (f(x)-g(y))^2 + (x-y)^2

Find de partielle afledede og de stationære punkter (hvori gradienten er nulvektoren). Hjælper det?

//Singularity

Svar #2
21. december 2004 af P3X-018 (Slettet)

Nu har jeg ikke et særlig godt kendskab til definitionen på Gradient. Men det kræver jo også at man har kendskab til matematisk analyse, som er jo stof man lærer på universitet?

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#2: Ja, blandt andet i matematisk analyse. Er det en gymnasierelateret opgave, du har fat i? For så er jeg overbevist om, at det må være den vertikale afstand der spørges til, jf. #1.

//Singularity

Svar #4
21. december 2004 af P3X-018 (Slettet)

Det er en gymnasierelateret opgave. Men i opgaven står der ikke at man skal finde den afstand. Funktionen f er forskriften for en tunnel. I opgaven bliver der spurgt om et tog kan være i tunnelen uden at støde på. Togets højde er 4m, hvor top-højre hjørnes forskrift har jeg beregnet til g. Da det oplyses at hjørnerne er buet over en radius på 0.5m. Dvs. kun over vinklen \\pi/2. Det ville jeg vise ved at beregne den korteste afstand.

Men hvad er vertikale afstand forresten?

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#4: Jamen, du kan ikke svare på, om toget kan passere under tunnelen, når du ikke kender dets bredde. Tunnelens højde i afstanden x(m) fra midten er

f(x) = 10 - (5/18)x^2

Tunnelen er da 10m høj på midten, og i afstanden ca. 4.65m fra midten er højden 4m (tjek selv). Hvis toget var 4m højt overalt, skulle dets bredde være mindst 9.3m for at støde på tunnelen. Jeg kan ikke se, at en vurdering af krumningsradius i togets øverste højre hjørne alene kan afgøre, hvorvidt toget kan passere eller ej. Bredden skal i høj grad medregnes.

//Singularity

Svar #6
22. december 2004 af P3X-018 (Slettet)

Hov beklager, jeg glemte at nævne, at jeg togets bredde også er 4m. Ja, sådan som du siger det at toget skal være mindst 9.3m bred for at støde mod tunnelen, kunne være et argument, som jeg også havde tænkt på, men jeg ville også vise, hvor tæt toget egentlig kommer på tunnelen, som et andet argument. Det er nemlig en projektopgave, derfor havde jeg tænkt mig netop at beregne den tætteste afstand mellem toget (rettere togets top-højre hjørne, da jeg bruger funktionen g(b)) og tunnelen.
Men hvad er "den vertikale afstand"?

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#6: Den vertikale (lodrette) afstand er (jf. #1) givet ved

d(f,g) = |f(x)-g(x)|

Men denne afstand er du nok ikke så interesseret i ifølge #6. Snarere vil du minimere kvadratafstanden;

A(f,g) = (f(x)-g(y))^2 + (x-y)^2

hvor

f(x) = 10 - (5/18)x^2
g(y) = 7/2 + sqrt(3y - y^2 - 2)

under restriktionen 3/2

Lad mig sige med det samme, at det bestemt ikke er ligetil at finde minimum for A ved håndkraft. De partielle afledede kan godt nok udregnes ved brug af kædereglen, således;

dA/dx = 2(f(x)-g(y))*f'(x) + 2(x-y)
dA/dy = 2(g(y)-f(x))*g'(y) + 2(y-x)

Men det er noget vanskeligt at afgøre, hvor der er kritiske punkter (dA/dx,dA/dy)=(0,0). Dertil kommer komplikationen, at ikke alle kritiske punkter er minimumssteder. Benyt i stedet en avanceret grafregner, som kan tegne grafer for funktioner af to variable, og opsøg minimum, A(min) under restriktionen 3/2

sqrt(A(min))

Er du med så langt?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. december 2004 af 404error (Slettet)

Ja, lad os så endnu engang slå fast, at det er afstanden mellem to punkter på de respektive grafer for funktionerne - og /ikke/ afstanden mellem funktionerne - der er tale om her. Afstande mellem funktioner som størrelser i sig selv er noget ganske andet. Den absolutte værdi af differensen mellem to reelle funktioner, jf. #1, er også kun en afstand mellem to punkter på graferne for funktionerne, endda i en mere snæver forstand.

Svar #9
23. december 2004 af P3X-018 (Slettet)

Ja det er afstanden mellem to punkter på de respiktive funktioner jeg er interesseret i at finde (dog den kortetste afstand). Jeg kan tegne funktionen i maple, men hvordan kan jeg bestemme minimum i maple?

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. december 2004 af 404error (Slettet)

Nej, det er afstanden mellem to punkter på /grafen for/ funktionerne, du er ønsker at finde!

Singularity har i #7 opskrevet de partielle afledede for funktionen A som angiver kvadratet på afstanden mellem to punkter på graferne for f og g. Indsæt udtrykkene for f og g heri og løs ligningssystemet

dA/dx = dA/dy = 0,

for at finde stationære punkter. Det kan du klare med Maple's fsolve-funktion med en syntaks a la

fsolve({ligning1,ligning2},{x,y});

Tjek dernæst funktionsværdierne for funktionen A fra #7 for at lokalisere evt. minimum.

Desuden bør du også undersøge randen for din definitionsmængde for A, dvs. punkter på formen

(x, 1.5) og (x, 2)

for x et reelt tal. Det gør du ved en almindelig funktionsundersøgelse, hvor du sætter y til en fast værdi, 1.5 eller 2. Med din restriktion af y til et åbent interval risikerer du nemlig, at funktionen A slet ikke har noget minimum. Hvis det sidste lyder kryptisk, er du velkommen til at spørge igen. Ellers tag lidt let på den del, det er et godt stykke over gymnasieniveau.

Skriv et svar til: Funktion af to variabler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.