hjælp til en matematikopg.

I det følgende vil store "S" gøre det ud for
integraltegnet (det du har kaldt "int"):

S(e^x)*cos(x)dx.

Vha partiel integration har vi :


S(e^x)*cos(x)dx=

(e^x)*cos(x)dx-S(e^x)*(-sin(x))dx=

(e^x)*cos(x)dx+S(e^x)*sin(x)dx=

(e^x)*cos(x)dx+[(e^x)*sin(x)-S(e^x)*cos(x)dx]=

(e^x)*cos(x)dx+(e^x)*sin(x)-S(e^x)*cos(x)dx]

Så har vi ved at lægge S(e^x)*cos(x)dx
til på begge sider af lighedstegnet:

2*S(e^x)*cos(x)dx=

(e^x)*cos(x)+(e^x)*sin(x)=

(e^x)*[cos(x)+sin(x)]

=>

S(e^x)*cos(x)dx=


(e^x)*[cos(x)+sin(x)]/2 + k , qed.

Duffy

2) En kugle har ligningen
(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=25
bestem tallet d så planen med ligningen
2x+y-z+d=0
er en tangentplan til kuglen.


NYTÅRSGAVEN

Jeg giver dig hele svaret i det jeg
tror at du har behov for at se
en løsning på et sådant problem
for derefter selv at kunne løse
tilsvarende opgaver.

For at planen P med ligningen
P: 2x+y-z+d=0 skal være tangent-plan
til kuglen K skal afstanden fra
K's centrum til et punkt i P være
netop lig med K's radius.

Men vi får jo det hele foræret
i opgaveteksten.

K's ligning er

K: (x-2)^2+(y+1)^2+(z-0)^2=5^2

hvoraf man umiddelbart kan aflæse
K's centrum C=(2,-1,0)=(u,v,w) og
K's radius r=5
(se formelsamlingen!)

P's ligning er på formen
ax+by+cz+d=0,
hvor (a,b,c) er P's normalvektor.
Vi har altså at
(a,b,c)=(2,1,-1).



Nu er vha formelsamlingen
afstandsformlen for punkt C til plan P:

dist(C,P)=|a*u+b*v+c*w+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)

hvor kun d er ubekendt.

Vi skal således "styre" på d så

dist(C,P)=5 , hvilket ved første øjekast
synes at være én ligning med én ubekendt.
(Men det er det IKKE!)

dist(C,P)=|a*u+b*v+c*w+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)

=|2*2+1*(-1)+(-1)*0+d|/sqrt(2^2+1^2+(-1)^2)

=|3+d|/sqrt(6)

Vi skal altså nu løse ligningen:

5 =|3+d|/sqrt(6),

|3+d|=5*sqrt(6) .



For d >= -3:

3+d=5*sqrt(6) ,

d=5*sqrt(6)-3 ,

d=ca 9,2474 .



For d

-(3+d)=5*sqrt(6) ,

d=-5*sqrt(6)-3 ,

d=ca -15,2474 .



Så der er altså 2 løsninger til
opgaven. Det er 2 parallelle planer
på hver sin side af kuglen i en
afstand på 10 mellem dem.

- That'll be five dollars -

GODT NYTÅR

Duffy ;D