Parsevals identitet

Prøv at spørge Fourier (altså ham her på Portalen), jeg mener ikke du er færdig, før du har fundet den korresponderende Fourier serie a₀/2 +∑(a_ncos((πx)/L +bsin((nπx)/L), hvor [-L,L] er intervallet, men det er længe siden, jeg har haft det. Højresiden af identiteten giver Fourierkoeffecienterne.

Lad os starte med at se på f₂(x) = x.

1/(2π) ∫ _-π^π |f₂(x)|² dx = 1/(2π) [∫_-π⁰ x² dx + ∫₀^π x² dx ]

= 1/(2π) [π³/3 + π³/3 ] = π² / 3.

Lad os nu starte med at se på Fourierkoefficienten af grad nul. Denne er lig med 0, da f₂(0) = 0. Ellers opskriv integralet.

Udregn nu den n'te Fourierkoefficient.

Herefter tager du summen af alle Fourierkoefficienternes kvadrat.

Fra Parsevals Identitet må denne sum være lig med π² / 3.

Ydermere skal vi bemærke at alle tre funktioner er stykkevist kontinuerte og begrænset på [-π,π].

Det samme gør du for f₁ og f₃.

For x får jeg a_n til at være:

a_n = i*((-1)ⁿ / n)*e^inx , hvor i selvfølgelig er kompleks.

Tager jeg den absolutte værdi af dette, kvadreret, får jeg 1 / n² - hvordan kan det blive til pi² / 3 ? 

Hmmm, jo, det giver søreme pi² / 3 :)

Men er det så det ?
Har jeg så fundet ud af, at dette er ophav til Parsevals identitet fordi de giver det samme ?

Ja. Vi har beregnet to udtryk, som viser sig at være identiske. Parsevals Identitet siger netop dette. Det er ikke tryllekunst. :)

Hvis man har to funktioner a,b : R → C, der begge er stykkevist kontinuerte og begrænset på [-π,π], og deres Fourierrækker er identiske, så må de to funktioner nødvendigvis være identiske, a = b.

Denne påstand følger netop af Parsevals Identitet, hvor det er velkendt, at der findes et punkt p ∈ [-π,π] såfremt

∫_-π^π |f(t)|² dt > 0, ∀t∈[-π,π] .

Ok.