Matematik

koordinatsystem

07. januar 2005 af mathman (Slettet)

I et koordinatsystem med begyndelsespunkt O er der givet punkterne A(4,1) og B(4,-1). Linjen gennem O og A kaldes L, og linjen gennem O og B kaldes m. En cirkel har bpde L og M som tangenter, og tangenternes røringspunkter med cirklen er A og B.
Jeg skal så bestemme en ligning for Cirklen, men hvordan kan jeg vide hvad radius er?

Kristian/

Svar #1
07. januar 2005 af mathman (Slettet)

mit spørgsmål er nu:
hvordan at jeg kan bestemme b, af de to ligninger jeg er fundet frem til:

1) (4-a)^2 + (1-b)^2 = dist(C,l)^2
2) (4-a)^2 + (-1-b)^2 = dist(C,m)^2

og så derefter vil man jo selvfølgelig kunne bestemme a vil jeg mene

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

Prøv at søge på tidligere indlæg om samme emne. Det er tit nyttigt. Her er nogle hints fra sidste gang, opgaven var at finde på Studieportalen:

https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=72725&h=linier

//Singularity

Svar #3
07. januar 2005 af mathman (Slettet)

hehe:
Tak, men det som jeg mangler er faktisk lige det der også mangler på den forklaring. Det var pudsigt:-D
Kan du måske hjælpe med at bestemme b og a.

Kristian/

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Ja, men jeg vil først lige vide, om du har arbejdet med vektorer. Ellers vil jeg undlade den forklaring.

//Singularity

Svar #5
07. januar 2005 af mathman (Slettet)

det har jeg desværre ikke. men er meget
åben for at lære!!!

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Jeg tror, at jeg vil undlade forklaringen med vektorer, selvom den slet ikke er avanceret. Det er bedre, at du lærer teorien fra bunden, før du bruger den på opgaver i praksis.

Vi ser på ligningerne;

(4-a)^2 + (1-b)^2 = dist(C,l)^2 (1)
(4-a)^2 + (-1-b)^2 = dist(C,m)^2 (2)

og idet dist(C,l) = dist(C,m) = r, har vi af (1) og (2), at

(1-b)^2 = (-1-b)^2

hvoraf b=0. Prøv nu at benytte punkt-linie-afstandsformlen til at udtrykke cirklens radius ved a. Er du stadigvæk i tvivl, så spørger du bare igen.

//Singularity

Svar #7
07. januar 2005 af mathman (Slettet)

Jeg er dog stadig i tvivl om "a". da jeg ved brug af punkt til linie metoden ikke rigtig har punktet C(a,b)

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Nej, men du har b nu, hvilket er en stor hjælp i sig selv. Brug punkt-linie afstandsformlen til at få

r = dist(C,l) = |(1/4)*a|/sqrt((1/4)^2 + 1) = |a|/sqrt(17)

hvor 1/4 er hældningskoefficienten for linien l. Det har du formentlig styr på.
Da a > 0 (hvorfor?), har vi så, at

r = a/sqrt(17)

eller, hvis vi foretrækker (og det gør vi!), at

r^2 = (a^2)/17

Prøv at indsætte dette i én af ligningerne (1) eller (2) og bestem a.

//Singularity

Svar #9
07. januar 2005 af mathman (Slettet)

Okay, nu får jeg så følgende:

(4-a)^2 + (1-0)^2 = (a^2)/17
a = 4(1/4)
derfor kommer cirklens ligning til at se sådan ud:
(4-4,25)^2 + (1-0)^2 = (4,25)^2/17

er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. januar 2005 af Duffy

Næh, hvor er x og y blevet af?

Cirklens ligning er på formen

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

hvor r er radius i cirklen med centrum i C(a,b).

I øvrigt kan radius udregnes ved at se på ensvinklede trekanter:

...og radius i cirklen vil være

r= 1/cos(INVtan(1/4)) = 1,03078

Duffy

Svar #11
07. januar 2005 af mathman (Slettet)

men a giver da 4,25

Brugbart svar (0)

Svar #12
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Nej, det er forkert, at

r = 1.03078

#11: Ja, a = 17/4. Beregn radius og opskriv en ligning for cirklen.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #13
07. januar 2005 af Duffy

Undskyld :

Jeg mener

r= sqrt(17)*tan[(INVsin(1/sqrt(17))] = 1,03078

Så cirklen har centrum i

(x,y)=(4,25,0)

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #14
07. januar 2005 af Duffy

Cirklens ligning er på formen

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

hvor r er radius i cirklen med centrum i C(a,b).

LØSNINGEN:

(x-4,25)^2+y^2=17/16

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #15
08. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Jeps, enig. Radius i #13 er stadigvæk forkert. Den korrekte radius er

r = sqrt(17)/4

som du har rettet det til i #14.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #16
08. januar 2005 af Duffy

nej #13 ER R I G T I G !!!!!!!!!!!!

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #17
08. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Ok, jeg er måske lidt nøjeregnende, men det eksakte resultat er ikke r = 1.03078. Det er blot en afrundet værdi.

Eksakt er r = sqrt(17)/4.

Det er blot det, jeg mener.

//Singularity

Skriv et svar til: koordinatsystem

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.