Matematik
Opgave 4 fra GM år 2000
Georg Mohr år 2000 opgave 4) Et rektangulært gulv er dækket af et antal lige store kvadratiske fliser. Fliserne langs kanten er røde, og resten er hvide. Der er lige mange røde og hvide fliser. Hvor mange fliser kan der være?
Hvis de hvide fliser kaldes n og defineres som a·b (dvs. n=a·b) og de røde fliser kaldes m, så kan disse defineres som (a+2)2+2b (dvs. m=(a+2)2+2b). Der skal være lige mange så vi kan udlede følgende ligning:
a·b=(a+2)2+2b
0=2a+4+2b-ab
0=2a+2b-ab+4
0=(a-2)(-b-2)+4+4
(a-2)(-b-2)=-8= -1·8 = -8·1 = -2·4 = 2·(-4)
Heraf kan udledes følgende ligningssystemer
a-2=-1 Λ -b-2=8, a-2=1 Λ -b-2=-8, ... osv.
Ud fra disse ses at de eneste positive heltalsløsninger (a,b)=(3,5);(10,3);(6,4)
(3,5) udledes fra a-2=1 Λ -b-2=-8, men for a=3, b=5 er der ikke ligemange hvide og røde fliser. Dog er der det for (10,3) og (6,4) så jeg kommer frem til et brugbart resultat. Nogen som kan forklare mig hvad i alverden der er galt med min udregning mht. (3,5)?
Svar #1
29. november 2009 af MN-P (Slettet)
Da antallet af fliser i den yderste ring altid vil være lige (2a+2b+4) skal produktet af a og b være lige, altså skal mindst en af værdierne være lige.
Svar #2
29. november 2009 af MN-P (Slettet)
0=2a+2b-ab+4
0=(a-2)(-b-2)+4+4 der må da komme en fortegnsfejl her
(a-2)(-b-2)=-ab-2a+2b+4
(a-2)(-b+2)=-ab+2a+2b-4
0=(a-2)(-b+2)+8
(a-2)(-b+2)=-8
(a-2)(b-2)=8
Jeg kan slet ikke se hvordan du har fået 3 og 5
hvis a=3 er a-2=1 og b-2 må så være 8 og derfor er b=10
Jeg mener kun der er to løsninger nemlig 3x10 og 6x4 fliser
Skriv et svar til: Opgave 4 fra GM år 2000
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.