Euklid: Postulater vs. aksiomer?

 Opslag på mathworld.wolfram.com var interessant læsning. Først står der om axiom:

"An axiom is a proposition regarded as self-evidently true without proof. The word "axiom" is a slightly archaic synonym for postulate. Compare conjecture or hypothesis, both of which connote apparently true but not self-evident statements."

Altså, at axiomer antages at være sande, uden yderligere bevis. Og at "axiom" er en lidt arkaisk betegnelse for et postulat.

Så står der om postulat:

"A statement, also known as an axiom, which is taken to be true without proof. Postulates are the basic structure from which lemmas and theorems are derived. The whole of Euclidean geometry, for example, is based on five postulates known as Euclid's postulates."

Dvs. at et postulat - ligesom et axiom - antages at være sandt, uden bevis. Og at hele den Euklidiske geometri er baseret på fem postulater af Euklid.

Dette er også i tråd med det, du har læst: at postulat og axiom anvendes tit som synonymer.

Euklids fem postulater er:

1) Et ret linjestykke fås ved at forbinde to punkter.

2) Ethvert ret linjestykke kan forlænges i det uendelige, til en ret linje.

3) Givet et ret linjestykke, så kan en cirkel tegnes, der har linjestykket som radius og det ene endepunkt som centrum.

4) Alle rette vinkler er kongruente.

5) Hvis to linjer tegnes, der skærer en tredje således, at summen af de indre vinkler på den ene side er mindre end to rette vinkler, så må de to linjer nødvendigvis skære hinanden på den ene side, hvid de forlænges langt nok.

Det femte postulat er ækvivalent til parallelpostulatet. Det siger, at givet en ret linje og et punkt, der ikke ligger på linjen, så findes der én og kun én ret linje gennem punktet, der aldrig skærer den første linje, uanset hvor langt vi forlænger den.

Ifølge en af mine matematikbøger laver Euklid en opdeling af aksiomer i to grupper: postulaterne og aksiomerne. Postulaterne er da "de geometriske aksiomer", mens aksiomerne er almindelige begreber/slutningsregler.

Ifølge min udgave af Euklids Elementer er der 5 postulater og 9 aksiomer.

P1:  Der kan trækkes en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst andet punkt.
P2: En begrænset ret linje kan forlænges i ret linje uden afbrydelse.
P3: Der kan tegnes en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst afstand som radius.
P4: Alle rette vinkler er lige store.
P5: Hvis en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side tilsammen er mindre end to rette, så mødes de to linjer hvis de forlænges ubegrænset, på den side hvor de to vinkler ligger som er mindre end de to rette.

A1: Størrelser som er lig en og samme tredje, er indbyrdes lige store.
A2: Hvis lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store.
A3: Hvis lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store.
A4: Hvis ulige store størrelser lægges til lige store er summerne ulige store.
A5: De dobbelte af samme størrelse er lige store.
A6: De halve af den samme størrelse er lige store.
A7: Størrelser der kan dække hinanden er lige store.
A8: Det hele er større end en del af det.
A9: To rette linjer kan ikke indeslutte en flade.

Jeg kan især godt lide A8 :D