Matematik
Afstand fra plan til punkt
Heej alle sammen
Jeg har en opgave i rumgeometri som lyder:
Beregn afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til den plan, der indeholder linjerne l og m.
l og m har følgende parameterfremstilling (jeg har skrevet dem som koordinater, da jeg ikke kan opskrive dem som vektorer her):
m: (x,y,z) = (3,2,7) + s(1,0,2)
l: (x,y,z) = (0,1,3) + t (1,1,0)
Jeg har på fornemmelsen, at jeg først skal finde en ligning for min plan på formen ax+by+cz+d=0, men jeg har ingen idé om hvordan. Mit begyndelsespunkt ved jeg heller ikke, hvad er.
Hvis nogen vil hjælpe med at udregne de to ting, så ved jeg godt, at jeg skal bruge formlen dist = (ax+by+cz+d)/kvadratrod(a^2+b^2+c^2)
På forhånd mange tak. :)
Svar #2
11. februar 2010 af Andersen11 (Slettet)
Find ud af, om de to linier har et skæringspunkt (fælles punkt). Da linierne ikke er parallelle, er det en forudsætning for at de to linier bestemmer en plan. Brug så det fundne fællespunkt og de to uafhængige retningsvektorer for linierne til at opstille en parameterfremstilling i (s,t) for punkter i planen. Beregn afstanden fra O(0,0,0) til et vilkårligt punkt i planen som funktion af s og t, og find minimum for denne funktion. Minimumsværdien er da den fundne afstand fra O til planen.
Svar #3
11. februar 2010 af mathon
en normalvektor, n, til den plan, der indeholder linjerne l og m
er
krydsproduktet
n = [1,0,2] x [1,1,0] = [-2,2,1]
Svar #4
11. februar 2010 af mathon
planen, der indeholder linjerne l og m,
kan med Po(0,1,3) som fikspunkt
beskrives
{P(x,y,z) | n•PoP = 0}
[-2,2,1]·[x,y-1,z-3] = 0 som reduceres til
-2x + 2y + z - 5 = 0
Svar #5
11. februar 2010 af Andersen11 (Slettet)
Kun hvis linierne ikke er parallelle, kan krydsproduktet af liniernes retningsvektorer bruges til at finde en normalvektor til planen. Og hvis linierne ikke er parallelle, skal man først eftervise, at linierne har et fælles skæringspunkt, ellers har man to vindskæve linier, der ikke definerer nogen plan. Når man har eftervist, at disse forhold gælder, kan man bruge det fælles skæringspunkt samt den fundne normalvektor til at definere den omtalte plan.
Svar #6
11. februar 2010 af mathon
dette gennemført giver:
da [1,0,2] · [1,1,0] = 1 ≠ 0 hvorfor retningsvektorerne ikke er parallelle
og skæringspunkt (1,2,3) findes for (s,t) = (-2,1)
haves
planen, der indeholder linjerne l og m,
kan med Po(1,2,3) som fikspunkt
beskrives
{P(x,y,z) | n•PoP = 0}
[-2,2,1]·[x-1,y-2,z-3] = 0 som reduceres til
-2x + 2y + z - 5 = 0
Svar #9
31. januar 2013 af werner123 (Slettet)
Hej, sider og arbejder på en samme opgave. Den har været til stor hjælp, dog får jeg et kedelig slutresultat på 0.
Jeg kan lige prøve at kopiere ind direkte hvad for nogle værdier jeg har brugt :
(((-2*1)+(2*2)+(1*3)-5)/(√(2^(2)+2^(2)+1^(2)))) ? 0
Kan i se hvad der er gået galt? Har brugt samme ligning og fikspunkt.
Svar #10
31. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Når man skal beregne afstanden fra punktet O(0,0,0) til planen, skal man indsætte punktets koordinater i punkt-plan-afstandsformlen, dvs.
| ((-2*0)+(2*0)+(1*0)-5)/(√(2^(2)+2^(2)+1^(2))) | = 5/3
Skriv et svar til: Afstand fra plan til punkt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.