Matematik

Hjælp til differentialligning

09. februar 2005 af fransk (Slettet)

Nogle der kan hjælpe lidt?

Bestem til differentialligningen
y''-1/4y=0
den løsning, hvis graf går gennem punktet
A(0,6) har en tangent med hældningskoefficient 1

Og bestem mindsteværdien for denne løsning.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. februar 2005 af Duffy

Bestem til differentialligningen
y''-1/4y=0
den løsning, hvis graf går gennem punktet
A(0,6) har en tangent med hældningskoefficient 1
Og bestem mindsteværdien for denne løsning.

y(x) = 4*exp(1/2*x)+2*exp(-1/2*x)

går gennem punktet
A(0,6) har en tangent med hældningskoefficient 1
i A.

Mindsteværdien for denne løsning, -
altså mindsteværkdien for y -
er -ln(2) = (ca. 0,6931)

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. februar 2005 af Duffy

Jah, ovenstående har du altså løsningen. Mellemregningerne må du selv levere.
Se i din bog om anden-ordens-differential-ligninger.

Duffy :D

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. februar 2005 af Duffy

Rettelse:

Mindsteværdien for denne løsning, -
altså mindsteværkdien for y -
er x = -ln(2) med værdien
y = 4*sqrt(2)

Duffy

Svar #4
09. februar 2005 af fransk (Slettet)

ja har også selv resultatet, men mellemregningen:
Den fuldstændige løsning er den y=c1*e^(kx) + c2*e^(-kx)?

hvor c1 er c første og c2 er c anden, altså to forskellige konstanter. Formlen er taget fra formelsamling

Men så sætter jeg k=1/2 ind:
y=c1*e^(0,5x)+c2*e(-0,5x)

og for punktet A(0,6)

6=c1*e(0,5*0) + c2*e^(0,5*0)
6=c1+c2

og hvad så? der kan jeg jo ikke bestemme videre hvad c1 og c2 er?

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. februar 2005 af Duffy

Du skal have fat i y'.

Så vil du få 2 ligninger med to ubekendte som løses let.

Du ved jo "A(0,6) har en tangent med hældningskoefficient 1 "

- altså at y'(0)=1

-Ka' du nu??

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. februar 2005 af Duffy

y'(x)= -1/2*_C1*exp(-1/2*x)+1/2*_C2*exp(1/2*x)

y(x) = _C1*exp(-1/2*x)+_C2*exp(1/2*x)

-1/2*c1+1/2*c2 = 1

6=c1+c2

=> c1 = 2 & c2 = 4

y(x) = 2*exp(-1/2*x)+4*exp(1/2*x)

Duffy

Svar #7
09. februar 2005 af fransk (Slettet)

ja forstod godt nu, men b spørgsmålet( mindsteværdien). Hvordan har du fået det? Det forstår jeg ikke..

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. februar 2005 af Duffy

Nu hvor vi har y så har vi jo også y':

y' = -exp(-1/2*x)+2*exp(1/2*x)

Vi skal finde nulpunkt for y':
(for det er jo der hvor y har globlat min.)

y' = 0

-exp(-1/2*x)+2*exp(1/2*x) = 0

=> x = -ln(2)

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. februar 2005 af Duffy

-exp(-1/2*x)+2*exp(1/2*x) = 0

2*exp(1/2*x) = exp(-1/2*x)

2 = exp(-1/2*x)*exp(-1/2*x)

2 = exp(-x)

ln2 = -x

=> x = -ln(2)

Duffy

Skriv et svar til: Hjælp til differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.