Projektion i rummet - vektorregning

a) Du har givet en parameterfremstilling for en linie l i rummet, og du skal finde projektionen P_l af et punkt P på linien. Til ethvert reelt tal t giver parameterfremstillingen er punkt på linien. Vi skal finde det t, der hører til punktet P_l. Projektionen finder du ved at nedfælde den vinkelrette fra P på l. Vektoren P_lP skal altså stå vinkelret på linien, og dermed på en retningsvektor r for linien. En sådan retningsvektor aflæser du umiddelbart af parameterfremstillingen:

r = (-1, 2, 2) . Vektoren P_lP er

P_lP = (7, 10, 5) - (-2, 1, -4) -t(-1, 2, 2) = (9, 9, 9) - t(-1, 2, 2) . Vi danner nu skalarproduktet

P_lP•r = (-1, 2, 2)•(9, 9, 9) -t(-1, 2, 2)•(-1, 2, 2) = -9 + 18 + 18 -t(1+4+4) = 27 - 9t og vi skal finde det t, hvor skalarproduktet er 0, altså 27 - 9t = 0 ⇒t = 3. Indsæt t = 3 i liniens parameterfremstilling for at finde koordinaterne for projektionen P_l.

b) I denne opgave kender du ligningen for en plan α og skal finde projektionen af et givet punkt P på planen. Projektionen P_α findes ved at nedfælde den vinkelrette fra P på planen. Linien gennem P og P_α er derfor parallel med normalvektoren til planen. En normalvektor n til planen aflæses direkte af planens ligning. Bestem så linien gennem P med retningsvektor n, og find liniens skæringspunkt med planen α. Det er det søgte projektionspunkt P_α.

a) Find ligningen for den plan, der går igennem P og har retningsvektoren for linjen som normalvektor. Der hvor planen og linjen skærer hinanden er projektionen.

b)Find ligning eller parameterfremstilling for den linje, som går igennem punktet og har planens normalvektor, som retningsvektor. Der hvor linjen og planen skærer hinanden er projektionen.

Jeg prøver lige! Tak for hjælpen!