Projektion

En plan kan fastlægges ved et punkt  og en normalvektor (orthogonal på planen), - fx:

derved kan planens ligning opstilles som:

Du kan som normalvektor bruge krydsproduktet mellem vektorerne og  ,
da krydsproduktet resulterer i en vektor orthogonal på de to vektorer, man tager krydsproduktet af.
Og da punkterne A, B og C alle ligger i planen, må krydsproduktet nødvendigvis være orthogonal på planen og kan dermed gøre det ud for normalvektoren .

Projektionen af punktet Q(15, 7, -1) på planen kan bestemmes som skæringspunktet mellem planen og den rette linje m gennem punktet Q(15, 7, -1) orthogonal på planen.
Du opstiller en parameterfremstilling for den rette linje m udfra punktet Q(15, 7, -1) og med planens normalvektor som retningsvektor for linjen. Herefter er det "bare" et spørgsmål om at beregne skæringspunktet mellem linjen og planen.

Jeg har fundet planens ligning til at blive:
 

            -3x - 3y - 3z + 18 = 0

Men er nu gået lidt i stå ...

det vil ikke som jeg vil, - så jeg prøver lige igen

Normalvektoren for planen kan bestemmes som krydsproduktet:

Hvilket med punktet A(2, 3, 1) som udgangspunkt (P0) giver flg, ligning for planen:

som du så rigtigt har fundet frem til :-)

Linjen m gennem punktet Q(15, 7, -1) med retningsvektor lig med planens normalvektor:

har følgende parameterfremstilling:

Dermed kan værdien for parameteren t findes ved at indsætte udtrykkene for henholdsvis x, y og z fra parameterfremstillingen ind i ligningen for planen.

Den heraf fundne værdi for t indsættes tilsidst i parameterfremstillingen for linjen m og koordinaterne for linjens skæringspunkt med planen kan bestemmes, disse koordinater er det samme som punktet Q's projektion på planen.
 

som divideret igennem med -3 giver den lidt håndterbart lettere

           x + y + z - 6 = 0

linjen gennem P(15,7,-1) parallel med planens normalvektor n = [1,1,1]
har bl.a. parameterfremstillingen

                        (x,y,z) = (15,7,-1) + t·(1,1,1)
dvs skæring kræver
                                x = 15+t
                                y = 7+t                        og               x + y + z - 6 = 0     
                                z = -1+t
hvoraf ved indsættelse i planens ligning

                                15 + t + 7 + t - 1 + t - 6 = 0

                                 3t + 15 = 0
                                 t + 5 = 0

                                 t = -5

hvilket giver skæringspunktet:
 

                                 S = (15,7,-1) + (-5)·(1,1,1)

                                           S = (10,2,-6)