find kassens længde og bredde

Du ved, at kassen skal være 1 m høj. Så er bundens areal 2m² og lågets areal er 2m², dvs at prisen på bund og låg er fast, uanset hvilken længde og bredde vi betragter. Tilbage er så at finde arealet af kassens sider og gøre det så lille som muligt. Arealet af kassens sider er proportionalt med omkredsen af grundfladen, så problemet er kogt ned til at finde det rektangel, der har et givet areal og mindst mulig omkreds.

Kald rektanglets længde og bredde for henholdsvis x og y. Rektanglets areal er

A = x y = 2m²

Rektanglets omkreds er

P = x + y + x + y = 2(x+y)

Af udtrykket for arealet A finder vi

y = 2m² / x , som vi indsætter i udtrykker for P

P = 2x + 2•2m² / x = 2x + 4m² / x

Vi vil finde minimum for P(x). Først finder vi den afledede

dP/dx = 2 - 4m² / x² og løser ligningen dP/dx = 0 :

2 - 4m² / x² = 0 eller x² = 2m² , og dermed x = (√2) m . Indsat i udtrykket for A, finder vi y = (√2) m. Det fundne rektangel med givet areal og mindt mulig omkreds er altså et kvadrat.

ér svaret bare et kvadrat ??

Spørgsmåler er: Find kassens længde og bredde. De størrelser blev kaldt x og y i #1. Så svaret er, at længe og bredde er lige lange og er lig med √2 m = 1,4142 m .